Wp/grc/Οὐήλειος κουαντισμός

Ἐν τῇ μαθηματικῇ καὶ τῇ φυσικῇ, ἐπὶ κουαντομηχανικῆς λογίζεσθαι, Οὐήλειος κουαντισμός ἐστι μέθοδος συστηματικῆς ἀντιστοιχίσεως «κουαντομηχανείων» Ἱλβερτείων τελεστῶν «κλασσικαῖς» πυρηνοσυναρτήσεσιν φασοχώρου ἀναστρεψίμως. Συνώνυμον δὲ ταύτης «φασοχώριος κουαντισμός».

Τῆς μεθόδου δ᾽ὑπόκειται κεφαλαία ἀντιστοιχίας ἀπεικόνισις ἐκ φασοχωρικῶν συναρτήσεων Ἱλβερτειοχωρίοις τελεσταῖς, ἥπερ «Οὐήλειος μετασχηματισμός» κέκληται, ὑπὸ ἀγλαομήτου Ἑρμάννου Οὐὴλ (Hermann Weyl) τετευγμένη, ἐν ἔτει 1927.

Ἐν ἱκανῇ ἀντιπαραθέσει τοῖς Οὐηλείοις βουλεύμασι συνεπὲς τέχνημα κουαντισμοῦ ζητεῖν, ἥδε ἀπεικόνισις οὐδὲν ἄλλο πλὴν μεταλλαγὴ ἀναπαραστάσεως μέν, ἰσοδύναμος δὲ τυγχάνει. Οὐ γὰρ ἀνάγκῃ δεῖ συνάπτειν «κλασσικὰς» ποσότητας ταῖς «κουαντικαῖς»: ἡ ἐν ἀρχῇ φασοχώριος συνάρτησις ἔξεστιν γὰρ τῇ ἀνηγμένῃ Πλανκείῳ σταθερᾷ (Planck constant) ħ ἐξαρτᾶσθαι. Ὄντως, εἰωθότως παρὰ στροφορμὴν συναρτήσεις πολλαχόθεν ἐξαρτῶνται τῇ ħ.

Το δ᾽ἀντίστροφον τοῦ Οὐηλείου μετασχηματισμοῦ ἐστι ἡ Οὐιγνέρειος ἀπεικόνισις (Wigner map), ἥτις ἀνέρχεται Ἱλβερτείου χώρου φασοχωρίῳ ἀναπαραστάσει, (πρβλ. Οὐιγνέρειος οἱονεὶ πιθανοτικὴ κατανομὴ (Wigner quasi-probability distribution), ἤγουν ἡ εὐδοξοτάτη Οὐιγνέρειος ἀπεικόνισις τοῦ κουαντικοῦ πίνακος πυκνότητος).

Ἥτις προειρημένη ἀναστρέψιμος μετατροπὴ ἀναπαράστασεως διὸ παρέχει ἐκφράζειν κουαντομηχανικὴν ἐν φασοχώρῳ, ὡς δεδειγμένον ἀμφὶ 1946 ὑπὸ Ἵπωνος Γροινεουώλδου (Hip Groenewold), λεπτογνώμονος καίπερ πειστικοῦ, τε καὶ Ἰωσήπου Ἐνρίκου Μοιάλ (José Enrique Moyal).

Παράδειγμα

Τοῦτο τηλαυγῶς ἐξηγεῖ τὸν Οὐήλειον μετασχηματισμόν ἐπὶ ἁπλουστάτου δισδιαστάτου Εὐκλειδίου φασοχώρου. Ἐκκείσθωσαν φασοχώριαι συντεταγμέναι (q,p), φαμὲν δὲ f συνάρτησιν ἁπανταχοῦ τῷ φασοχώρῳ ὡρισμένην.

Ὁ Οὐήλειος μετασχηματισμός τῆς f δίδοται παρὰ τῷ Ἱλβερτειοχώρῳ τελεστῇ, ἀναλόγῳ τῇ Διρακείῳ συναρτήσει δ ὧδε,

$\Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint \!\!\!\iint f(q,p)\left(e^{i(a(Q-q)+b(P-p))}\right){\text{d}}q\,{\text{d}}p\,{\text{d}}a\,{\text{d}}b.$

Οἱ προειρημένοι τελεσταὶ P καὶ Q τυγχάνουν γεννήτορες Λιείου ἀλγέβρας, τῆς ἐρασμίας γε δὴ τοῦ Ἁϊζεμβέργου τοιαύτης (Heisenberg Lie algebra): $[P,Q]=PQ-QP=-i\hbar ,\,$ ἔνθα ħ ἡ Πλάνκειος σταθερὰ. Γενικὸν δὴ μέλος τῆσδε Ἁϊζεμβεργείου ἀλγέβρας τοίνυν φράζεται ὡς aQ+bP+c.

Ἡ ἐκθετικὴ συνάρτησις τοῦδε μέλους δῆλον ὅτι μέλος τῆς ἀντιστοίχου Λιείου ὁμάδος,

$\,g=e^{iaQ+ibP+ic},$

τῆς Ἁϊζεμβεργείου γε ὁμάδος. Δοθείσης γὰρ συγκεκριμένης ἀναπαραστάσεως ὁμάδος Φ τῆς Ἁϊζεμβεργείου ὁμάδος, ἡ ποσότης

$\Phi [e^{iaq+ibp+ic}]\,$

δηλοῖ τὸ μέλος τῆς ἀναπαραστάσεως ἀντιστοιχούσης τῷ τῆς ὁμάδος μέλει g.

῞Ηδε Οὐήλειος ἀπεικόνισις ὡσαύτως φράζεται ὁλοκληρωτικοπυρηνιαίοις μέλεσι πίνακος τοῦ τελεστοῦ

$\langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).$

Τ᾽ἀνάστροφον τοῦ προειρημένου Οὐηλείου μετασχηματισμοῦ ἐστι ἡ Οὐιγνέρειος ἀπεικόνισις ἐπανάγουσα τελεστὴν Φ τῇ ἀρχικῇ φασοχωρικῇ πυρηνοσυναρτήσει f ,

$f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q-y|\Phi [f]|q+y\rangle .$

Ἐν γένει, ἡ τοῦδε ἑπομένη συνάρτησις f ἐξαρτᾶται τῇ ἀνηγμένῃ Πλανκείῳ σταθερᾷ ħ, καὶ ἔξεστιν περιγράφειν κουαντομηχανικάς διεργασίας, ἐφ᾽ ᾧτε συντίθηται δι' ἐπιτηδείου Μοιαλείου ἀστρογινομένου.

Ἐπὶ παραδείγματι, ἡ Οὐιγνέρειος ἀπεικόνισις τοῦ τελεστοῦ τετραγωνισμένης στροφορμῆς, L², οὐκ ἔστι μόνη ἡ τετραγωνισμένη κλασσική στροφορμὴ, ἀλλ᾽ ἔτι ὅρου − 3ħ²/2 κέκτηται, ὅστις δὴ λόγον δίδωσι δι᾽ ἀμηδένιστον στροφορμήν δαπεδαίας ἀτομικῆς τροχιᾶς τοῦ Βὼρ (ground Bohr orbit).

Ὥς τοίνυν πλήρης φασοχωρικός ἀναπαράστασις ἐκβαίνει κουαντομηχανικῆς παντελῶς ἰσοδύναμος τῇ Ἱλβερτειοχωρίων τελεστῶν ἀναπαραστάσει, ἰσομόρφως τοῖς ἀστρογινομένοις ἑπομένοις τῶν τελεστῶν γινομένων.

Ἀναμενόμεναι τιμαὶ ἐν φασοχωρικῷ κουαντισμῷ προσκτῶνται ἰσομορφικῶς τοῖς ἴχνεσιν τελεστῶν τῶν ἐπιστητῶν Φ τῷ πίνακι πυκνότητος ἐν Ἱλβερτείῳ χώρῳ: προσκτῶνται δὴ ἐν φασοχωρίοις ὁλοκληρώμασι ἐπιστητῶν ὡς ἡ προειρημένη f μετὰ τῆς Οὐιγνερείου πιθανοτικῆς κατανομῆς (πράξει δρούσης οἷον μέτρον).

Οὕτῳ, πεφηνυῖα κουαντομηχανικὴν ἐν φασοχώρῳ (ὁμοῦ τῷ χώρῳ μετά κλασσικῆς μηχανικῆς), ἡ προρρηθεῖσα Οὐήλειος ἀπεικόνισις ἀναγνώρισιν προφέρει κουαντομηχανικῆς ὡς παραμόρφωσιν (deformation), ἤγουν γενίκευσιν, τῆς κλασσικῆς μηχανικῆς, μετὰ παρομορφωτικῆς παραμέτρου ħ/S. Ἕτερα οὖν εἰωθότα παραμορφώματα ἐν Φυσικῇ περιλαμβάνουσι παραμόρφωσιν κλασσικῆς Νευτωνείου μηχανικῆς πρὸς σχετικότητος μηχανικὴν, τῇ παραμορφωτικῇ παραμέτρῳ v/c · εἴτε παραμόρφωσιν Νευτωνείου βαρύτητος πρός Γενικήν Σχετικότητα, τῇ παραμορφωτικῇ παραμέτρῳ Σουωρτσίλδιον ἀκτίνα πρὸς χαρακτηριστικὴν τοῦ ἀντικειμένου διάστασιν.

Ἀναφοραί

Ἥδε ἡ ἐγγραφὴ δεῖ παρεκτενεῖσθαι . Βοηθεῖτε μετὰ τῆς ὑμετέρας εἰσφορᾶς τῇ ἐργασίᾳ ταύτῃ.