Wp/grc/Μοιάλειος ἀγκύλη

Ἐν τῇ φυσικῇ, Μοιάλειος ἀγκύλη ἐστὶ ὁ ἐπιτήδειος κανονικοποιημένος ἀντισυμμετρισμὸς τοῦ φασοχωρίου ἀστρογινομένου. Ἡ Μοιάλειος ἀγκύλη τέτυκται ἀμφὶ τὸ ἔτος 1940, ὑπὸ Ἰωσήπου Ἐνρίκου Μοιάλ (José Enrique Moyal), καίτοι τὸ ἔργον κατέτυχε προφρόνως δημοσιεύειν μόλις τῷ 1949, μετὰ μακρᾶς ἀντιλογίας τῷ ἀγλαομήτιδι Διρακίῳ (Dirac). Ἐν τούτῳ, ἡ αὐτὴ ἰδέα μόνη τέτυχεν ἀντεισάγεσθαι τῷ 1946, ὑπὸ Ἵπωνος Γροινεουώλδου (Hip Groenewold), λεπτογνώμονος καίπερ πειστικοῦ.

Λεπτομέρειαι

Τῇ Μοιαλείῳ ἀγκύλῃ ἔξεστι περιγράφειν μεταθέτην κουαντομηχανικῶν ἐπισκοπτῶν, ὅτε ταῦτα ὡς φασοχωρικαὶ συναρτήσεις πεφρασμένα. Ταύτῃ δὲ πιστεύει τεχνήμασιν ἐπιγνώσκειν φασοχωρίους συναρτήσεις τοῖς κουαντομηχανικοῖς ἐπισκοπτοῖς — ὧν εὐδοξότατον τέχνημα ὁ Οὐήλειος κουαντισμός (Weyl quantization).

Ὑπόκειται γάρ τῆς Μοιλείου δυναμικῆς ἐξισώσεως, ἰσοδυνάμου δὴ τῆς ἐρασμίας Ἁϊζεμβεργείου (Heisenberg) κουαντικῆς ἐξισώσεως κινήσεως, ἥπερ οὕτω παρέχουσα τυγχάνει κουαντικὴν γενίκευσιν τῶν Ἁμιλτωνιανῶν ἐξισώσεων (Hamilton’s equations).

Μαθηματικῶς, ἀποτελεῖ παραμόρφωσιν τῆς Πουασσωνείου ἀγκύλης, ἔνθα παραμορφωτικὴ παράμετρος ἡ ἀνηγμένη Πλάνκειος σταθερὰ (Planck constant) ħ ἐστί. (Πρβλ. Συστολή Ὁμάδων.)

Περιλαμβανομένων κατὰ νόμου ἰσοδυναμιῶν, ἡ Μοιάλειος ἀγκύλη ἐστὶν ἡ ὡς οἶόν τε μάλιστα ἀρίστη μονοπαραμετρικὴ Λιαλγεβρικὴ παραμόρφωσις τῆς Πουασσωνείου ἀγκύλης. Ἡ δ᾽ αὐτῆς ἀλγεβρικὴ ἰσοδυναμία τῇ ἀλγέβρᾳ τῶν μεταθετῶν παρέρχεται τὴν ἀπόρρησιν τοῦ Γροινεουωλδίου-Βανωβίου θεωρήματος (Groenewold-vanHove), ὅπερ ἀντιτάσσεται τοιούτῳ ἰσομορφισμῷ πρὸς Πουασσώνειον ἀγκύλην· τό γε σκέμμα ἐπερωτηθέν ὑπὸ τοῦ Παύλου Διρακίου ἐν τῇ αὐτοῦ διατριβῇ τῷ 1926, τουτέστιν "Μέθοδος Κλασσικῆς Ἀναλογίας" πρὸς κουαντισμόν.

Παραδείγματα

Ἐπὶ παραδείγματι, ἔν τινι δισδιαστάτῳ ἐπιπέδῳ φασοχώρῳ, καὶ δὴ ὑπὸ Οὐηλείῳ ἀντιστοιχίᾳ (ἰδὲ Οὐήλειον κουαντισμόν), ἡ Μοιάλειος ἀγκύλη φράζεται ὧδε,

${\begin{aligned}\{\{f,g\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{i\hbar }}(f*g-g*f)\\&=\{f,g\}+O(\hbar ^{2}),\\\end{aligned}}$

ἔνθα ∗ ἐστὶν ὁ ἀστρογινόμενος τελεστὴς ἐν φασοχώρῳ (ἰδὲ Μοιάλειον γινόμενον), καὶ δὴ καὶ f καὶ g εἰσὶν διαφορίσιμαι φασοχωρικαὶ συναρτήσεις, καὶ {f,g} ἡ τούτων Πουασσώνειος ἀγκύλη.

Διαρρήδην, ἥδε ἰσοδυναμεῖ τῷ

$\{\{f,g\}\}\ ={\frac {2}{\hbar }}~f(x,p)\ \sin \left({{\frac {\hbar }{2}}({\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}-{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{p}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x})}\right)\ g(x,p).$

Ἐνίοτε ἡ Μοιάλειος ἀγκύλη καλεῖται καὶ ἡμιτόνειος ἀγκύλη. Παραδείγματος χάριν, δημώδης Φουριέρειος (Fourier) ὁλοκληρωτικὴ ἀναπαράστασις αὐτῆς, ὑπὸ Γεωργίου Βείκερ (George Baker) τευχθεῖσα, ἔστιν ἥδε,

$\{\{f,g\}\}(x,p)={2 \over \hbar ^{3}\pi ^{2}}\int dp'\,dp''\,dx'\,dx''f(x+x',p+p')g(x+x'',p+p'')\sin \left({2 \over \hbar }(x'p''-x''p')\right).$

Ἑκάστη ἀντιστοιχίας ἀπεικόνισις ἐκ τοῦ φασοχώρου τῷ Ἱλβερτείῳ χώρῳ, ἐπάγει τοιαύτην χαρακτηριστικὴν Μοιάλειον ἀγκύλην, (ὡς ἡ προρρηθεῖσα τῆς Οὐηλείου ἀπεικονίσεως). Ἅπασαι τοιαῦται Μοιάλειοι ἀγκύλαι ἰσοδυναμοῦσιν ἀλλήλοις κατὰ νόμον, κατὰ συστηματικὴν θεωρίαν.

Ἡ Μοιάλειος ἀγκύλη διορίζει ἐπώνυμον ἀπειροδιάστατον Λίειον ἄλγεβραν — Ἀντισυμμετρίζεται τοῖς f καὶ g, ὑπήκοος δὲ τῇ Ἰακωβείῳ ταυτότητι. Ἡ ἀντιστοιχοῦσα ἀφῃρημένη Λίειος ἄλγεβρα πραγματοῦται τῷ T_f ≡ f ∗ , οὐκοῦν

$[T_{f}~,T_{g}]=T_{i\hbar \{\{f,g\}\}}~.$

Ἐν διτορικῷ χώρῳ, T², μετά περιοδικῶν συντεταγμένων x καὶ p, ἑκάστης ἐν [0,2π], καὶ δεικτῶν ἀκεραίων m_i,διὰ συναρτήσεις βάσεως exp(i (m₁x+m₂p)), αὕτη Λίειος ἄλγεβρα φράζεται ὧδε,

$[T_{m_{1},m_{2}}~,T_{n_{1},n_{2}}]=2i\sin \left({\hbar \over 2}(n_{1}m_{2}-n_{2}m_{1})\right)~T_{m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2}}~,$

ἥπερ ἀνάγεται τῇ ἀλγέβρᾳ SU(N) δι᾽ ἀκεραίαν N ≡ 4π/ħ. Ἐπί τῷ τηλαυγέστερον δοχθῆναι ἀχθεῖσα, SU(N) τοίνυν ψαυκρῶς δεδήλωται ὡς παραμόρφωσις τῆς SU(∞), ἔνθα παραμορφωτικὴ παράμετρος ἡ 1/N.

Σύνδεσμοι ἐξώτεροι

[1] Τὸ ἐντεῦθεν δὲ σκεπτέον ( Ἁμλέτῳ)...