Wp/grc/Δυϊκότης Ταννάκα–Κρέϊν

Ἐν τῇ Μαθηματικῇ, ἡ θεωρία τῆς δυϊκότητος Ταννάκα–Κρέϊν ἀφορᾷ τὴν ἀλληλεπίδρασιν συμπήκτου τοπολογικῆς ὁμάδος τινὸς καὶ τῆς ἑῆς κατηγορίας γραμμικῶν ἀναπαραστάσεων.

Ἡ δυϊκότης Ταννάκα–Κρέϊν ἐπεκτείνει τὴν δυϊκότητα τοῦ Λεῦ Ποντριάγιν (δυϊκότης μεταξὺ συμπήκτων καὶ διακριτῶν μεταθετικῶν τοπολογικῶν ὁμάδων), ἐν περιπτώσει ὅπου αἱ ὁμάδες εἰσὶ σύμπηκτοι, ἀλλὰ οὐχὶ μεταθετικαί. Ἐν ἀντιθέσει πρὸς τὴν περίπτωσιν τῶν μεταθετικῶν ὁμάδων, ἡ δυϊκὴ μαθηματικὴ ὀντότης μὴ-μεταθετικῆς συμπήκτου ὁμάδος τινὸς οὐκ ἔστιν ὁμάς τις ἐπἴσης, ἀλλὰ κατηγορία τις Π(G) (μετὰ τινῶν προσθέτων ἰδιοτήτων), σχηματιζομένη ὑπὸ τῶν περατοδιαστάτων ἀναπαραστάσεων τῆς G· τὰ θεωρήματα οὖν τῶν Ταννάκα–Κρέϊν περιγράφουσι τὸν ὀπισθοχωροῦντα μορφισμὸν ἐκ τῆς Π(G) ὀπίσω εἰς τὴν G, ἐπιτρέποντά τινι ἐπικτῆσαι τὴν ὁμάδα μέσῳ τῆς ἑῆς κατηγορίας, χαρακτηρίζοντα δὲ πλήρως, ἐν πράγματι, ἁπάσας τὰς κατηγορίας, τὰς προκυψίμους τοιούτῳ τρόπῳ ἐξ ὁμάδος τινός.

Παρομοίᾳ διαδικασίᾳ, ὡς ἔδειξεν ὁ Ἀλέξανδρος Γρώτενδικ, ἡ δυϊκότης Ταννάκα–Κρέϊν δύναται ἐπεκταθῆναι πρὸς τὴν περίπτωσιν τῶν ἀλγεβρικῶν ὁμάδων (βλ. ταννάκιος κατηγορία), ἐνῷ δέ, ἐστὶ γοῦν ἑτέρα θεωρητικὴ γενίκευσις, ἀναπτυχθεῖσα ἐξ ἐφαρμοσιακῶν μαθηματικολόγων καὶ μαθηματικῶν φυσικολόγων παρέχουσα πλαίσιον ἐργασίας τι βοηθοῦν τῇ μελέτῃ τῶν ἀναπαραστάσεων κουαντικῶν ὁμάδων, κουαντικῶν συπερομάδων, κουαντικῶν ὁμαδοειδῶν καὶ τῶν σφῶν κουαντικῶν ἀλγεβροειδῶν.

Ἡ ἰδέα περὶ τῆς κατηγορίας ἀναπαραστάσεων ὁμάδος τινός

Ἐν τῇ θεωρίᾳ τῆς δυϊκότητος Ποντριάγιν περὶ τοπικῶς συμπήκτων μεταθετικῶν ὁμάδων, τὸ δυϊκὸν ἀντικείμενον ὁμάδος τινὸς G ἐστὶν ἡ ἑὴ χαρακτηριστικὴ ὁμὰς ${\hat {G}},$ ἀποτελουμένη ἐκ τῶν ἑῶν μονοδιαστάτων μονοτικῶν ἀναπαραστάσεων. Εἰ ἐπιτρέπομεν τῇ ὁμάδι G εἶναι μὴ-μεταθετική, τὸ ἀμεσώτερον ἀναλογον τῆς χαρακτηριστικῆς ὁμάδος ἐστὶ τὸ θετὸν τῶν κλάσσεων ἰσοδυναμίας ἀναγώγων μονοτικῶν ἀναπαραστάσεων τῆς G· τὸ ἀνάλογον τοῦ χαρακτηριστικοῦ γινομένου ἐστὶ τὸ τανυστορικὸν γινόμενον ἀναπαραστάσεων. Παρὰ ταῦτα, αἱ ἀνάγωγαι ἀναπαραστάσεις τῆς G, ἐν γένει, ἀποτυγχάνουσι σχηματίσαι ὁμάδα, ἐπεὶ δή, τὸ τανυστορικὸν γινόμενον τῶν ἀναγώγων ἀναπαραστάσεων οὐκ ἔστιν, ἀναγκαίως, ἐπἴσης ἀνάγωγον. Ἐδείχθη ὅτι δεῖ τινὰ θεωρῆσαι τὸ θετὸν Π(G) ἁπασῶν τῶν περατοδιαστάτων ἀναπαραστάσεων, καὶ χειρωθῆναι αὐτὸ ὡς μονοειδῆ κατηγορίαν τινά, ὅπου τὸ γινόμενον ἐστὶ τὸ σύνηθες τανυστορικὸν γινόμενον ἀναπαραστάσεων, ἐνῷ, τὸ δυϊκόν ἀντικείμενον δίδεται ἐκ τῆς τελέσεως τῆς ἀντιβαθμωτικῆς ἀναπαραστάσεως.

Ἀναπαράστασίς τις τῆς κατηγορίας Π(G) καλεῖται μονοειδὴς φυσικὸς μετασχηματισμὸς τις ἐκ τοῦ ταυτοτικοῦ συναρτητοῦ $id_{\Pi (G)}$ εἰς ἑαυτόν· ἄλλως εἰπεῖν, ἐστὶ μὴ-μηδενικὴ συνάρτησις τις φ, προσεταιριζομένη ᾧτινι δήποτε T ἐνδομορφισμῷ τοῦ τοπολογικοῦ χῶρου τοῦ ἀντικειμένου ObΠ(G), ἱκανοποιοῦσα τὴν συνθήκην τῆς συμβατότητος μετὰ τανυστορικῶν γινομένων, $\phi (T\otimes U)=\phi (T)\otimes \phi (U),$ καὶ μετὰ αὐθαιρέτων περιπλεκόντων τελεστῶν $f:T\to U,$ δῆλα δή, $f\circ \phi (T)=\phi (U)\circ f.$ Τὸ σύνολον $\Gamma (\Pi (G))$ ἁπασῶν τῶν ἀναπαραστάσεων τῆς κατηγορίας $\Pi (G)$ δύναται προικισθῆναι μετὰ πολλαπλασιασμοῦ $\phi \psi (T)=\phi (T)\psi (T)$, καὶ τοπολογίας, ἐν ᾗ, αὐτὸς ἀληθεύει σημειωδῶς ($\phi _{a}(T)\to \phi (T)$ διὰ πᾶν $T\in Ob\Pi (G)$).
Συνεπῶς, ἀποδεικνύεται ὅτι δύναται - τὸ θετὸν $\Gamma (\Pi (G))$ - γενέσθαι σύμπηκτος τοπολογικὴ ὁμάς τις.

Τὰ θεωρήματα τῶν Ταννάκα καὶ Κρέϊν

Τὸ θεώρημα Ταννάκα (τοῦ Σ'ίρο Τάννακα) παρέχει τρόπον τινὰ διὰ τὸ κατασκευάζειν τὴν σύμπηκτον ὁμάδα $G$ ἐκ τῆς ἑῆς κατηγορίας ἀναπαραστάσεων $\Pi (G)$. Ἄφες $G$ σύμπηκτος ὁμάς τις καὶ $\phi _{g}$ ἡ ἀναπαράστασις τῆς κατηγορίας $\Pi (G)$, δοθείσης ἐκ τοῦ τύπου:

$\phi _{g}(T)=T(g),$

ὅπου $T$ ἀντικείμενον τῆς κατηγορίας $\Pi (G),$ οὔτως εἰπεῖν, ἀναπαράστασίς τις τῆς $G$. Τότε, τὸ ἀπεικόνημα $g\mapsto \phi _{g}$ ἐστὶν ἰσομορφισμὸς τις τῶν τοπολογικῶν ὁμάδων $G$ καὶ $\Gamma (\Pi (G))$. Τὸ θεώρημα Κρέϊν (τοῦ Μάρκου Γριγόρευιτς Κρέϊν) ἀποκρίνεται εἰς τὴν ἀκόλουθον ἐρώτησιν: ποῖαι κατηγορίαι δύνανται προκύψειν ὡς δυϊκὰ ἀντικείμενα συμπήκτου ὁμάδος τινός; Ἄφες Π, κατηγορία τις περατοδιαστάτων ἀνυστορικῶν χώρων, πεπροικισμένη μετὰ τῶν τελέσεων τοῦ τανυστορικοῦ γινομένου καὶ τῆς ἐνελίξεως· αἱ ἀκόλουθοι συνθῆκαι εἰσὶν ἱκαναὶ καὶ ἀναγκαῖαι, οὕτως ὧστε, ἡ Π ᾖ δυϊκόν ἀντικείμενόν τι ὁμάδος τινὸς G:

αʹ ὑπάρχει ἀντικείμενον, μοναδικὸν ἕως ἰσομορφισμόν, μετὰ τῆς ἰδιότητος $I\otimes A\approx A$ διὰ πᾶν ἀντικείμενον A τῆς Π,

βʹ πᾶν ἀντικείμενον A τῆς Π ἐστὶν ἀποσυνθέσιμον εἰς ἄθροισμά τι ἐλαχιστικῶν ἀντικειμἐνων,

γʹ εἰ A καὶ B εἰσὶ δύο ἐλαχιστικὰ ἀντικείμενα, ὁ χῶρος τοῦ ὁμομορφισμοῦ $Hom_{\Pi }(A,B)$ ἐστὶν εἶτε μονοδιάστατος (ὅταν τὰ A καὶ B εἰσὶν ἰσομορφικά), εἶτε ἰσοῦται τοῦ μηδενός. Εἰ ἅπασαι αἱ ἄνωθι συνθῆκαι ἱκανοποιοῦνται, τότε Π = Π(G), ὅπου G ἐστὶν ἡ ὁμὰς ἀναπαραστάσεων τῆς Π.

Γενικεύσεις

Ἡ μέριμνα περὶ τῆς θεωρίας τῆς δυϊκότητος Ταννάκα–Κρέϊν ἐπαναφυπνίσθη ἐν τοῖς 1980 ἅμα τῇ ἀνακαλύψει τῶν κουαντικῶν ὁμάδῶν ἐν τῷ ἔργῳ τῶν Βλαδιμήρου Δρίνφελ'δ καὶ Μίτσ'ιο Δσ'ίμβο. Μία ἐκ τῶν κυρίων προσεγγίσεων τῆς μελέτης κουαντικῆς ὁμάδος τινὸς ἀφορᾷ τὴν μελέτην τῶν ἑῶν περατοδιαστάτων άναπαραστάσεων, σχηματιζουσῶν κατηγορίαν τινὰ γενικωτέρου τύπου, συγγενοῦς τῶν συμμετρικῶν μονοειδῶν κατηγοριῶν Π(G), δῆλα δή, τὴν πλεξιδικὴν μονοειδῆ κατηγορίαν. Ἀπεδείχθη τελικῶς ὅτι θεωρία εὔχρηστός τις δυϊκότητος τύπου Ταννάκα–Κρέϊν περὶ τοῦδε τοῦ τύπου ἐστὶν ὑπαρκτὸς ὁμοίως γοῦν, καὶ δή, ἔχουσα μεγάλην συμβολὴν εἰς τὴν θεωρίαν τῶν κουαντικῶν ὁμάδων τε καὶ προσφέρουσα φυσικὸν θεμέλιόν τι τῇ μελέτῃ τῶν κουαντικῶν ὁμάδων καὶ τῶν σφῶν ἀναπαραστάσεων. Ὀλίγον ὕστερον, διάφορα παραδείγματα πλεξιδικῶν μονοειδῶν κατηγοριῶν εὑρέθησαν ἐν τῇ θεωρίᾳ ῥητῶν συμμόρφων πεδίων. Ἡ φιλοσοφία τῶν Ταννάκα–Κρέϊν προτείνει ὅτι αἱ πλεξιδικαὶ μονοειδεῖς κατηγορίαι, αἱ προκύπτουσαι ἐκ τῆς θεωρίας συμμόρφων πεδίων, δύνανται ἐπικτηθῆναι ἐπἴσης μέσῳ κουαντικῶν ὁμάδων, ὅπερ οἱ Δαυὶδ Κάσδαν καὶ Γεωργίου Λοῦστιγ τελικῶς ἀπέδειξαν ἐν σειρᾷ σφῶν ἐργασιῶν.

Ἐκ τῆς ἄλλης πλευρᾶς, αἱ πλεξιδικαὶ μονοειδεῖς κατηγορίαι, αἱ προκύπτουσαι ἐκ τῶν κουαντικῶν ὁμάδων, ἐφηρμόσθησαν ὑπὸ τῶν Νικολάου Ρεσ'ετίχιν καὶ Βλαδιμήρου Τουραίευ εἰς τὴν κατασκευὴν νέων ἀναλλοιώτων ἐν τῇ θεωρίᾳ κόμβων.

Ἡ φυσικὴ ἐπέκτασις τῆς Θεωρίας δυϊκότητος Ταννάκα–Κρέϊν πρὸς τὴν περίπτωσιν τὴν μὴ-Ἀβέλιον ἡ Θεωρία δυϊκότητος τοῦ Γρώτενδικ ἐστίν.

Θεώρημα Δόπλιχερ-Ρόβερτς

Τόδε τὸ ἀποτέλεσμα τῶν Σεργίου Δόπλιχερ καὶ Ἰωάννου Ρόβερτς χαρακτηρίζει τὴν Rep(G), ἐν ὅροις θεωρίας κατηγοριῶν, ὡς τύπον τινὰ ὑποκατηγορίας τῆς κατηγορίας τῶν χώρων Ἵλβερτ· τοιοῦται κατηγορίαι μονοτικῶν ἀναπαραστάσεων συμπήκτου ὁμάδος τινὸς ἐπὶ χώρων Ἵλβερτ εἰσὶν αἱ αὐταὶ ὡς ἐνίτιναι ἐκ τῶν σφῶν ὑποκατηγοριῶν, εἰ τοιαῦται αἱ ὑποκατηγορίαι ἱκανοποιοῦσι τὰς κάτωθι συνθήκας:

αʹ αἵδε εἰσὶν αὐστηρῶς συμμετρικαὶ μονοειδεῖς C*-κατηγορίαι μετὰ συζυγῶν, καὶ

βʹ ἔχουσιν ὑπαντικείμενα καὶ εὐθέα ἀθροίσματα, οὕτως ὧστε ἡ C*-ἄλγεβρα τῶν ἐνδομορφισμῶν τῆς μονοειδοῦς μονάδος ἀποτελῇται ἀποκλῃστικῶς ἐκ κλιμακωτῶν.

Ἐξωτερικοὶ σύνδεσμοι

• André Joyal, Ross Street, "An introduction to Tannaka duality and quantum groups", Category Theory, Proceedings, Como 1990 (Part II), eds. A. Carboni, M. C. Pedicchio, G. Rosolini, Lectures Notes in Mathematics 1488, Springer, Berlin, 1991, 411-492.