Wp/rki/ကိန်း

ကိန်းဆိုရေမှာ ရေတွက်ရန်နန့် တိုင်းတာရန် အတွက် အသုံးပြုရေ သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်ရေ။ သင်္ချာပညာတွင် ကိန်းဂဏန်းတိဧ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်ကို တဖြည်းဖြည်း ချဲ့ကားလာခသဖြင့် နှစ်ပေါင်းတိစွာ ကြာရေအခါတွင် သုည၊ အနှုတ်ကိန်းတိ (negative numbers)၊ ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational number) ခေါ် အပိုင်းကိန်းတိ၊ အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) ခေါ် အပိုင်းကိန်းမဟုတ်ရေကိန်းတိ နန့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်း (complex number) ခေါ် ကိန်းရှုပ်တိ စရေဖြင့် ပါဝင်လာကတ်ရေ။

သင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတိ (mathematical operations) တွင် ဂဏန်းတစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပိုရေ ဂဏန်းတိကို အဝင်ကိန်းအဖြစ် လက်ခံကတ်ပြီး ဂဏန်းတစ်ခုကို အထွက်ကိန်း အဖြစ် ပြန်ထုတ်ပီးရေ။ ယူနရီ တွက်ချက်မှု (unary operation) ခေါ် တစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတွင် ဂဏန်းတစ်ခုကို အဝင်ကိန်း အဖြစ် လက်ခံပြီး ဂဏန်းတစ်ခုကို အထွက်ကိန်း အဖြစ် ထုတ်ပီးရေ။ ဆပ်ဆက်ဆာ တွက်ချက်မှု ( successor operation) ခေါ် နောက်ဆက်တွဲတွက်ချက်မှုမှာ တစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု တစ်ခုဖြစ်ရေ။ ယင်းတွက်ချက်မှုတွင် အဝင်ကိန်းတိုင်းကို ၁ ပေါင်းပီးရာ သာဓကဆိုကေ ၄ ထည့်လိုက်ပါက ၅ ပြန်ထွက်လာရေ။ ဘိုင်နရီ တွက်ချက်မှု (binary operation) ခေါ် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတွင် အဝင်ကိန်းနှစ်ခုကို လက်ခံပြီး အထွက်ကိန်းတစ်ခုကို ပြန်ထုတ်ပီးရေ။ ပေါင်းခြင်း၊ နှုတ်ခြင်း၊ မြှောက်ခြင်း၊ စားခြင်းနန့် ပါဝါ (အထပ်ကိန်း) တင်ခြင်းရို့ရေ ဘိုင်နရီ တွက်ချက်မှုတိ ဖြစ်ရေ။ ထိုသို့ အခြီခံဂဏန်းတိဧ တွက်ချက်မှုကို လိလာခြင်းအား အရစ်သ်မတစ် (arithmetic)၊ သို့မဟုတ် ဂဏန်းတွက်ခြင်း၊ သို့မဟုတ် ဂဏန်းသင်္ချာဟု ခေါ်ရေ။

ကိန်းတိတွင် အသုံးပြုရေ သင်္ကေတတိကို နျူမရယ် (numeral) သို့ နံပါတ်ဟု ခေါ်ကတ်ရေ။ နံပါတ်တိကို ရေတွက်ရန်နန့် တိုင်းတာရန် အတွက်သာ မကဘဲ အမှတ်အသား ပြုလုပ်ရန် (ဖုန်းနံပါတ်)၊ စီစဉ်ရန် (နံပါတ်စဉ်) နန့် ကုတ်ဒ်သင်္ကေတ (ISBN နံပါတ်) စရေ ရို့အတွက်လည်း အသုံးပြုကတ်လိ ဟိရေ။

ကိန်းတိကို အမျိုးအစားခွဲခြင်း

ကိန်းတိကို အမျိုးအစားအဖုံဖုံ ခွဲခြားနိုင်ရေ။ အမျိုးတူကိန်းတိအားလုံးကို စုဝီး၍ အစုတိ (sets) တွင်း ထည့်သွင်းခြင်းဖြင့် ကိန်းစနစ်တိ (number systems) ဖြစ်ပေါ်လာရေ။ ကိန်းတစ်ခုတည်းကိုပင် ရီးသားပုံတစ်မျိုးမကသုံး၍ ရီးနိုင်ရေ။ သာဓကအားဖြင့် ကိန်းဂဏန်းရှစ်ကို ဟိန္ဒူ-အာရေဗျနံပါတ် (Hindu-Arabic numeral) သုံး၍ ၈ ဟုရီးနိုင်သလို၊ ရောမနံပါတ် (Roman numeral) သုံး၍ VIII ဟုလည်း ရီးနိုင်ရေ။

နံပါတ်စနစ်

$\mathbb {N}$	သဘာဝကိန်းတိ	ဝ၊၁၊၂၊၃၊၄... သို့ ၁၊၂၊၃၊၄...
$\mathbb {Z}$	ကိန်းပြည့်တိ	... -၅၊-၄၊-၃၊-၂၊-၁၊ဝ၊၁၊၂၊၃၊၄၊၅...
$\mathbb {Q}$	ရာရှင်နယ်ကိန်းတိ	${\frac {a}{b}}$ သဏ္ဌာန်ဟိကိန်းတိ၊ ($a$ နန့် $b$ ရေ ကိန်းပြည့်တိဖြစ်၍ $b$ ရေ သုညနန့် မညီရေ အခြီအနီ)
$\mathbb {R}$	ကိန်းစစ်တိ	လားရာစုစည်းရေ (convergent) ရာရှင်နယ်ကိန်းတန်း (sequence of rational numbers) ရို့ဧ လားရာဆုံမှတ်တိ (limits)
$\mathbb {C}$	ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိ	$a+bi$ သဏ္ဌာန်ဟိကိန်းတိ၊ ($a$ နန့် $b$ ရို့ရေ ကိန်းစစ်တိဖြစ်၍ $i$ ရေ $-1$ ဧ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဖြစ်သည့် အခြီအနီ)

သဘာဝကိန်းတိ (Natural numbers)

လူရို့ နိစ္စဓူဝ ထိတွိ့ရင်းနှီးမှု အတိဆုံး ကိန်းအမျိုးအစားမှာ သဘာဝကိန်းတိ ဖြစ်ရေ။ သဘာဝကိန်းတိကို ရေတွက်ကိန်းတိ (counting numbers) ဟုလည်း ခေါ်ကတ်ရေ။ ဂဏန်း ၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ... စရေရို့မှာ သဘာဝကိန်းတိ ဖြစ်ကတ်ရေ။ အချို့သင်္ချာသမားနန့် စာအုပ်စာတမ်းတိ (သာဓက၊ ဘိုဘာကီ ၁၉၆၈ နန့် ဟဲမော့ ၁၉၇၄)တွင် သုညကို သဘာဝကိန်းဟု သတ်မှတ်ပြီး ကျန်အချို့က သုညကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် မသတ်မှတ်ပါ။ မည်သို့ဖြစ်စေ သဘာဝကိန်းစုဧ အသုံးတိရေသင်္ကေတမှာ $\mathbb {N}$ ဖြစ်ရေ။ သုညကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် သတ်မှတ်/မသတ်မှတ် ရှင်းလင်းစေချင်ရေအခါတွင် သင်္ကေတ $\mathbb {N} _{0}$ နန့် $\mathbb {Z} _{\geqslant 0}$ ရို့ကို သုညပါရေ သဘာဝကိန်းစုအတွက်လည်းကောင်း၊ သင်္ကေတ $\mathbb {N} _{1}$ နန့် $\mathbb {Z} _{>0}$ ရို့ကို သုညမပါရေ သဘာဝကိန်းစုအတွက်လည်းကောင်း သုံးကတ်ရေ။

ကိန်းပြည့်တိ (Integers)

တွက်ချက်၊ ရေတွက်၊ တိုင်းတာမှုတိတွင် သဘာဝကိန်းတိသက်သက်ဖြင့် မလုံလောက်ရေအခါ ကိန်းပြည့်တိကို သုံးရရေ။ သုညနန့် အပေါင်းကိန်းတိ ဖြစ်သည့် ဝ၊ ၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ... စရေရို့အပြင် အနှုတ်ကိန်းတိ ဖြစ်သည့် -၁၊ -၂၊ -၃၊ -၄၊ ... စရေရို့ကို စုပေါင်း၍ ကိန်းပြည့်တိဟုခေါ်ရေ။ အနှုတ်ကိန်းတိကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ဟိရင်းစွဲဖြစ်သည့် သုညအပါအဝင် သဘာဝကိန်းတိနန့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သည့် ပေါင်းခြင်းကိုသုံး၍ သတ်မှတ်ရေ။ သာဓကအနီဖြင့်၊ -၃ ဆိုရေမှာ ၃နန့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ် သတ်မှတ်ရေ၊ -၄ ဆိုရေမှာ ၄နန့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ်သတ်မှတ်ရေ၊ ယေဘုယျဆိုရကေ -n ဆိုရေမှာ n နန့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ်သတ်မှတ်ရေ။

ကိန်းပြည့်တိ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ သဘာဝကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းပြည့်ဖြစ်ကေလည်း၊ ကိန်းပြည့်တိုင်း သဘာဝကိန်းမဟုတ်ပေ။ (သာဓက၊ အနှုတ်ကိန်းပြည့်တိမှာ သဘာဝကိန်းတိ မဟုတ်။)

ကိန်းပြည့်အစုကို သင်္ကေတ $\mathbb {Z}$ သုံး၍ ရီးရေ။ ကိန်းဂဏန်းတိဟု အနက်ရသည့် ဂျာမန်စာလုံး "Zahlen“ ကိုအရင်းပြု၍ သုံးခြင်းဖြစ်ရေ။

ရာရှင်နယ်ကိန်းတိ (Rational Numbers)

ရာရှင်နယ်ကိန်းဆိုရေမှာ အပိုင်းကိန်း ${\frac {a}{b}}$ အနီနန့် ရီး၍ရရေ ကိန်းကို ခေါ်ရေ။ အပိုင်းကိန်း ${\frac {a}{b}}$ တွင် a ရေ ကိန်းပြည့်ပိုင်းဝေ (integer numerator) ဖြစ်ပြီး၊ b ရေ သုညမဟုတ်ရေ ကိန်းပြည့်ပိုင်းခြီ (nonzero integer denominator) ဖြစ်ရေ။ သာဓကဆိုရကေ ၁/၃၊ ၇/၈၊ -၁/၂ စရေရို့မှာ ရာရှင်နယ် (ဝါ) အပိုင်းကိန်းတိ ဖြစ်ကတ်ရေ။ ပိုင်းခြီ သုညမဖြစ်ရခြင်းမှာ အရီးကြီးသည့် ကန့်သတ်ချက်ဖြစ်ရေ။

မြန်မာဘာသာဖြင့် ရေရွတ်ရေအခါ ၁/၃၊ ၇/၈ နန့် -၁/၂ ရို့ကို "သုံးပုံ၊ တစ်ပုံ၊" "ရှစ်ပုံ၊ ခုနစ်ပုံ၊" "အနှုတ် နှစ်ပုံ၊ တစ်ပုံ၊" စရေဖြင့် ပိုင်းခြီကိန်းကို ဦးစွာ ရေရွတ်ရရေ။ ("ပုံ" အစား "ပိုင်း" ဟုလည်း သုံးကတ်ရေ။) တစ်စုံတစ်ခုကို သုံးပုံ၊ သုံးပိုင်း အညီအမျှပိုင်းပြီးနောက် တစ်ပုံနန့် ညီမျှရေ ပမာဏ၊ စသည့်ဖြင့် အနက်ကောက်ယူနိုင်ရေ။

ကိန်းတစ်ခုတည်းကို အပိုင်းကိန်းဖြင့်ရီးရာတွင် တစ်မျိုးထက်ပို၍ ရီးနိုင်ရေ။ သာဓကအားဖြင့် ၂/၄ နန့် ၁/၂ နှစ်မျိုးစလုံးမှာ ကိန်းတစ်ခုတည်းကို ကိုယ်စားပြုရေ။ ထို့အတူ -၁/၂ ကို ${\frac {-1}{2}}$ အနီဖြင့်လည်းကောင်း၊ ${\frac {1}{-2}}$ အနီဖြင့်လည်းကောင်း ရီးနိုင်ရေ။ သို့ရာတွင် အနှုတ်ကိန်းကို ပိုင်းဝေမှာထား၍ ရီးခြင်းက ပို၍တွင်ကျယ်ရေ။

သဘာဝကိန်းတိုင်းမှာ ရာရှင်နယ်ကိန်းတိ ဖြစ်ရေကို သတိပြုသင့်ရေ။ သာဓကဆိုကေ သဘာဝကိန်း ၅ ကို ၅/၁ ဟုရီး၍ ရရေကြောင့် ၅ မှာ ရာရှင်နယ်ကိန်းလည်း ဖြစ်ရေ။ ယကေလည်း သဘာဝကိန်းမဟုတ်ရေ ရာရှင်နယ်ကိန်းတိစွာဟိဧ။ သာဓက၊ ၁/၂၊ ၄/၅၊ -၁၃/၁၄။

ရာရှင်နယ်ကိန်းစုကို သင်္ကေတ $\mathbb {Q}$ သုံး၍ ရီးရေ။ အချိုး (ratio) ဟု အနက်ရသည့် “Quotient” ဆိုသည့် ဂျာမန်စာလုံးကို အရင်းပြုထားခြင်းဖြစ်ရေ။ ဒေသင်္ကေတကို ၁၉၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်တိဆီက ဘိုဘာကီရီး Algèbre တွင်စတင် အသုံးပြုရေ။

ကိန်းစစ်တိ (Real Numbers)

လက်တွိ့တိုင်းတာရာတွင် သုံးသည့်နံပါတ်တိ၊ ကိန်းတိအားလုံးမှာ ကိန်းစစ်တိဖြစ်ရေ။ တစ်နည်းဆိုကေ ကိန်စစ်မျဉ်း (real number line) ပေါ်တွင် နီရာချထား၍ ရရေကိန်းအားလုံးမှာ ကိန်းစစ်တိဖြစ်ရေ။ ကိန်းစစ်မျဉ်းဆိုရေမှာ မျဉ်းဖြောင့်တစ်ခုပေါ်တွင် နံပါတ်တိကို အညီအမျှတိုင်းတာ၍ မှတ်သားထားရေ အလျားလိုက်မျဉ်းဖြစ်ရေ။ လက်တွိ့ဥပမာအားဖြင့် ကျောင်းသုံးပေတံမှာ ကိန်းစစ်မျဉ်းဧ တစ်စိတ်တစ်ဒေသဖြစ်ရေ။ ကိန်းပြည့်တစ်ခုနန့် နောက်ကပ်လျက်ကိန်းတစ်ခုဧ အကွာအဝီးကို တစ်လက်မဟု သတ်မှတ်ပါကေ၊ တစ်ပေရှည်ရေ ပေတံရေ သုညနန့် ၁၂အပါအဝင်နန့် ယင်းကိန်းနှစ်ခုကြားဟိ ကိန်းစစ်တိ အားလုံးကို ကိုယ်စားပြုနိုင်ရေ။ သာဓကဆိုရကေ ၂.၅ ဆိုသည့်ကိန်းစစ်ကို ပေတံပေါ်ဟိ နှစ်လက်မ အမှတ်နန့် သုံးလက်မ အမှတ်ကြားဟိ အလယ်တည့်တည့်အမှတ်ဖြင့် ကိုယ်စားပြုနိုင်ရေ။ ထို့အတူ ၁/၃ ကို သုညနန့် ၁လက်မ အမှတ်ကြား အကွာအဝီးကို သုံးပိုင်း အညီအမျှပိုင်းကာ သုညဘက်မှစ၍ ရေတွက်ပါက တစ်ပိုင်းမြောက် အမှတ်ဖြင့် ကိုယ်စားပြုနိုင်ရေ။ ထို့အတူ သင်္ချာကိန်းသေ $\pi$ ရေလည်း ၃လက်မနန့် ၄လက်မကြားဟိ တစ်နီရာတွင် ဟိပေလိမ့်မည်။

ကိန်းစစ်တိကို ဒသမကိန်းစနစ်သုံး၍လည်း ရီးနိုင်ရေ။ သာဓက၊ ၃.၅၊ -၆.၉၉၂၀၊ ဝ.၃၃၃...၊ ၃.၁၄၁၅၉၂၆၅၄... အစဟိသဖြင့်။ ဒသမကိန်းတစ်ခုတွင် ဒသမပွိုင့် (decimal point) နောက်ပါ ဂဏန်းတွဲမှာ အဆုံးသတ်ရေလည်း ဟိရေ၊ အဆုံးမသတ်ရေလည်း ဟိရေ။ သာဓကဆိုကေ ရာရှင်နယ်ကိန်း ၁/၂ ကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရီးပါက ဝ.၅ ဖြစ်၍ အဆုံးသတ်သည့် ဒသမကိန်း (terminating decimal number) ဟုခေါ်သည့် ကိန်းတစ်ခုဖြစ်ရေ။ ရာရှင်နယ်ကိန်း ၁/၃ကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရီးပါမူ ဝ.၃၃၃... ဟူ၍ ဒသမနောက်တွဲ ၃ ဂဏန်းမှာ အဆုံးမဟိ ထပ်ကာထပ်ကာ ပေါ်နီရာ အဆုံးမသတ်သည့် ဒသမကိန်း (non-terminating decimal number) တစ်ခုဖြစ်ရေ။ ယကေလည်း ၁/၃ ကို $0.{\bar {3}}$ ဟူ၍ ပြန်ထပ်သည့် ဂဏန်းတိအပေါ် မျဉ်းတိုတစ်ခုတင်၍ ရီးနိုင်ရေ။ ၎င်းဒသမကိန်းမျိုးကို ပြန်ထပ်ဒသမကိန်း (recursive/repeating decimal number) ဟုခေါ်ရေ။ နောက်ဆုံးအနီဖြင့် $\pi$၊ ${\sqrt {2}}$ အစဟိသည့် ကိန်းတိကို ဒသမကိန်းပုံစံဖြင့်ရီးပါက ၃.၁၄၁၅၉၂၆၅၄...၊ ၁.၄၁၄၂၁၃၅၆... ဟူ၍ ဂဏန်းတွဲမှာ ဆုံးလည်း မဆုံး၊ ပြန်လည်းမထပ် ဖြစ်နီရာ ၎င်းကိန်းအမျိုးအစားကို ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း (non-recursive/non-repeating decimal number) ဟု ခေါ်ရေ။ အဆုံးသတ်ဒသမကိန်း၊ ပြန်ထပ်ဒသမကိန်း၊ ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း အားလုံးကို စုပေါင်း၍ ကိန်းစစ်တိဟု ခေါ်ရေ။

ကိန်းစစ်တိကို ပို၍စနစ်တကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်လိုပါက ကဲကုလသင်္ချာမှ လားရာစုစည်းသည့် ကိန်းစဉ်တန်း (convergent sequence)၊ ကိန်းစဉ်တန်းရို့ဧ လားရာဆုံချက် (limit) အစဟိသည့် သဘောတရားရို့ကို သုံးလိဟိရေ။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ရကေ ကိန်းစစ်တစ်ခု ဟူရေမှာ ကိုရှီရာရှင်နယ်ကိန်းစဉ်တန်း (Cauchy sequence of rational numbers) တစ်ခုဧ လားရာဆုံချက် (limit) ဖြစ်ရေ။ ဂုဖော်ပြပြီးဖြစ်သည့် ကိန်းစုတိအနက် ကိန်းစစ်အစု $\mathbb {R}$ ရေ (ပြင်သစ်သင်္ချာပညာသျှင် ကိုရှီကို ဂုဏ်ပြုမှည့်ဆိုထားရေ) ကိုရှီကိန်းစဉ်တန်းတိုင်းဧ လားရာဆုံချက်အားလုံးပါဝင်သည့် အသေးဆုံးရေ အစုဖြစ်ရေ။

အပိုင်းကိန်းအားလုံးကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရီး၍ ရရေကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းရေ ကိန်းစစ်တိဖြစ်ရေ။ ယကေလည်း အပိုင်းကိန်းပုံစံဖြင့် ရီး၍မရရေ ကိန်းစစ်တိစွာဟိရေ။ သာဓက၊ ${\sqrt {2}}$၊ $\pi$ အစဟိသဖြင့်။

ကိန်းစစ်အစုကို သင်္ကေတ $\mathbb {R}$ သုံး၍ရီးရေ။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိ (Complex Numbers)

သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာရေနန့်အမျှ အချို့ကိစ္စတိတွင် ကိန်းစစ်တိဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြီအနီကို ရောက်ဟိလာရေ။ သာဓကပြရကေ အချို့ရေ ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းတိ (polynomial equations) မှာ ကိန်းစစ်အဖြေမဟိပါ။ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း $x^{2}-1=0$ ကို $x$ အတွက်ဖြေရှင်းပါက ၁ နန့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ နှစ်ခုဟိကေလည်း၊ $x^{2}+1=0$ ကို ဖြေရှင်းပါက ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) တစ်ခုမျှမဟိရေကို တွိ့ရမည်။ (မည်သည့် ကိန်းစစ် $x$ ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပြီးပါက $x^{2}$ ဧတန်ဖိုးမှာ အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ရာ တစ်သာထပ်ပေါင်းပါက ပေါင်းလဒ်မှာ သုညထက် အနည်းဆုံး တစ်ယူနစ်ပိုကြီးနီမည် ဖြစ်ရေ။ ထို့ကြောင့် $x^{2}+1$ ရေ သုညနန့် မည်သို့မှ ညီမည်မဟုတ်ပါ။) ဒေအခြီအနီမျိုးကို ကျော်လွှားနိုင်ရန် ကိန်းအသစ်တိလိုအပ်လာရေ။ ထိုအခါ $x^{2}+1=0$ ဧ (ကိန်းစစ်မဖြစ်နိုင်ရေ) ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခုကို i ဟု သတ်မှတ်ကာ ၎င်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (imaginary unit) ဟုခေါ်ရေ။ (ဖော်ပြပါ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းကို ရှင်းပါက $x^{2}=-1$ ဟုထွက်ရာ i ကို -၁ ဧ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဟုလည်း ခေါ်ကတ်ရေ။ i ရေ -၁ဧ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်ပါက -i ရေလည်း -၁ဧ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သတိချပ်သင့်ရေ။) အချုပ်ဆိုရကေ i ဆိုရေမှာ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရသည့် ကိန်းသစ်တစ်ခုဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ရေ။ မည်သည့်ကိန်းစစ်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ မရနိုင်ရာ i မှာ ကိန်းစစ်မဟုတ်သည့် ကိန်းအသစ်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားရေ။

အထက်ပါ ကိန်းယောင်ယူနစ်ကို အသုံးပြု၍ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ရေ။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု ဆိုရေမှာ a+bi သဏ္ဌာန်ဟိသည့် ကိန်းတစ်ခုကို ဆိုရေ။ ဒေတွင် a နန့် b မှာ ကိန်းစစ်တိဖြစ်ရေ။ သာဓက၊ $2+3i,-2+(1/3)i,4-\pi i$။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်း -2+(1/3)i ဧ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) မှာ -2 ဖြစ်ပြီး ကိန်းယောင်ပိုင်း (imaginary part) မှာ 1/3 ဖြစ်ရေ။ ယေဘုယျဆိုရကေ ကွန်ပလက်စ်ကိန်း a+bi ဧ ကိန်းစစ်ပိုင်းမှာ a ဖြစ်၍၊ ကိန်းယောင်ပိုင်းမှာ b ဖြစ်ရေ။

ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းဖြစ်ရေ။ သာဓကဆိုရကေ ကိန်းစစ် 4 ကို 4+0i ဟူ၍ ရီးနိုင်ရေကြောင့် ကိန်းစစ် ၄မှာ ကိန်းစစ်ပိုင်း ၄ဟိပြီး ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညဟိသည့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခုဖြစ်ရေ။ ယကေလည်း ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိုင်း ကိန်းစစ်မဟုတ်ပါ။ ပို၍တိတိကျကျ ဆိုရကေ ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်တိ မဟုတ်ကတ်ပါ။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုကို သင်္ကေတ $\mathbb {C}$ သုံး၍ ရီးနိုင်ရေ။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုကို ပို၍စနစ်ကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ် တည်ဆောက်လိုပါက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ဟိ ကွင်း (ring) တိ တိုးချဲ့တည်ဆောက်ခြင်းဟူသည့် သဘောတရားကို သုံးလိဟိရေ။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ် ဖွင့်လိုပါက $\mathbb {C}$ ဆိုရေမှာ $\mathbb {R}$ အပေါ်တွင် ကိန်းရင်းတိဖြင့် ထပ်ဖြည့်တည်ဆောက်ထားသည့်အစု (algebraic closure of $\mathbb {R}$) ဖြစ်ရေ။

ကိန်းအမျိုးအစားအသီးသီးရို့ ဆက်နွယ်ချက်

သဘာဝကိန်းတိုင်း ကိန်းပြည့်ဖြစ်ရေ၊ ဒေအချက်ကြောင့် သဘာဝကိန်းအစု $\mathbb {N}$ ရေ ကိန်းပြည့်အစု $\mathbb {Z}$ ဧ အစုငယ် (subset) တစ်ခုဖြစ်ရေဟု ပြောလိဟိရေ။ သင်္ကေတအားဖြင့် $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z}$ ဟူ၍ ရီးနိုင်ရေ။ ယကေလည်း ကိန်းပြည့်တိုင်း သဘာဝကိန်း ဖြစ်ရေဟု မဆိုသာ၊ သဘာဝကိန်းမဟုတ်ရေ ကိန်းပြည့်တိ ဟိ၍ဖြစ်ရေ။ ထို့ကြောင့် သဘာဝကိန်းစုနန့် ကိန်းပြည့်စုနှစ်ခုမှာ မတူညီ။ ဒေရေကို $\mathbb {N} \neq \mathbb {Z}$ ဟု ရီးနိုင်ရေ။ ဒေ $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z}$ နန့် $\mathbb {N} \neq \mathbb {Z}$ နှစ်ချက်ကို ပေါင်း၍ $\mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Z}$ ဟူ၍ ရီးနိုင်ရေ။ ထိုအခါ ကိန်းစုအမျိုးမျိုးကြား ဆက်နွယ်မှုကို

$\mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C}$

ဟု သင်္ချာသင်္ကေတတိသုံး၍ ရီးနိုင်ရေ။

ကိန်းပြည့်အမျိုးအစားတိ

စုံကိန်းနန့် မကိန်း (Even vs. Odd)

ကိန်းပြည့်တိထဲတွင် ...၊ -၄၊ -၂၊ ဝ၊ ၂၊ ၄၊ ... အစဟိရေရို့ကို စုံကိန်းတိဟု ခေါ်ရေ။ အတိအကျဆိုရကေ ကိန်းပြည့် ၂ ဖြင့် စား၍ပြတ်ရေ (ဝါ) အကြွင်းမကျန်ရေ ကိန်းပြည့်ဟူသမျှကို စုံကိန်းတိဟု ခေါ်ရေ။ သုညကို ၂ ဖြင့်စားကေ အကြွင်းသုညသာ ကျန်ရေကြောင့် သုညရေလည်း စုံကိန်းတစ်ခုဖြစ်ရေ။

နှစ်ခုတွဲ အစုံလိုက် အစုံလိုက် တွဲ၍ရရေ ပမာဏတိ ဖြစ်ရေကြောင့် စုံ ဆိုသည့် ဝေါဟာရကို သုံးခြင်းဖြစ်ရေ။ မြန်မာပြည် ကျေးလက်ဒေသအချို့တွင် တစ်စုံကို “တစ်ပြူ” ဟုလည်း ခေါ်လိဟိရာ ကိန်းပြည့် ၂ ကို မြန်မာလို တစ်ပြူဟု ခေါ်ရေလည်း ဟိရေ။ မြန်မာကျေးလက်ဟိ အချေတိ ရေတွက်တတ်စေရန် ၂၊ ၄၊ ၆၊ ၈၊ ၁၀ စသည့် စုံကိန်းပြည့်တိကို “တစ်ပြူ၊ တစ်လံ၊ ညောင်ကန်၊ ထမ်းပိုး၊ အကျိုး” ဟု စကားပုံဆောင်၍ မှတ်ရေလည်း ဟိရေ။

စုံကိန်းမဟုတ်ရေ ကိန်းပြည့်တိကို မ ကိန်းဟုခေါ်ရေ။ ...၊ -၃၊ -၁၊ ၁၊ ၃၊ ... စသည့် ကိန်းပြည့်တိမှာ မကိန်းတိဖြစ်ရေ။ အတိအကျဆိုရကေ ကိန်းပြည့် ၂ ဖြင့်စားရေအခါ အကြွင်း ၁ ကျန်ရေ ကိန်းပြည့်ဟူသမျှကို မကိန်းတိဟု ခေါ်ရေ။

စုံကိန်းစုနန့် မကိန်းစုကို သင်္ကေတအဖုံဖုံ သုံး၍ကိုယ်စားပြုတတ်ကတ်ရေ။ အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှလာသည့် $2\mathbb {Z}$ နန့် $2\mathbb {Z} +1$ ကို စုံကိန်းစုနန့် မကိန်းစု အသီးသီးရို့ကို ဖော်ပြရန် သင်္ချာပညာသျှင်တိကြားတွင် သုံးလိဟိရေ။

သုဒ္ဓကိန်းပြည့်တိ (Prime Integers)

တစ်ထက်ကြီးရေ အပေါင်းကိန်းပြည့်တစ်ခုရေ ၎င်းကိန်းပြည့်ကိုယ်တိုင်နန့် ကိန်းပြည့် ၁ မှအပါး အခြားဆခွဲကိန်းမဟိပါက ၎င်းကိန်းပြည့်ကို သုဒ္ဓကိန်းပြည့်ဟု အတိအားဖြင့် ခေါ်ကတ်ရေ။ တစ်နည်းဆိုရကေ သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုကို ၎င်းကိန်းကိုယ်တိုင်နန့် ကိန်းပြည့် ၁ မှအပါး အခြားမည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့်နန့်မှ စား၍မပြတ်ပါ။ သာဓကအားဖြင့် ဆိုရကေ ၂၊ ၃၊ ၅၊ ၇၊ ... အစဟိရေရို့မှာ အပေါင်းသုဒ္ဓကိန်းပြည့်တိ ဖြစ်ကတ်ရေ။

သုဒ္ဓကိန်းတိဧ လူသိတိရေ အထက်ဖော်ပြပါ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ပို၍ယေဘုယျကျရေ၊ ပို၍တိကျရေ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ကွင်းသီအိုရီ (ring theorey) တွင်တွိ့နိုင်ရေ။ ၎င်းအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရဆိုကေ ယူနစ် (unit) (ဆိုလိုရေမှာ တစ်နန့် အနှုတ်တစ်) မဟုတ်သည့် ကိန်းပြည့် $x$ ရေ ကိန်းနှစ်ခုဧမြှောက်လဒ် $ab$ ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းကိန်းနှစ်လုံးထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်လုံးကိုလည်း စား၍ပြတ်မှသာ (ဆိုလိုရေမှာ $x$ ရေ $a$ ကိုကေလည်းကောင်း၊ $b$ ကိုကေလည်းကောင်း စား၍ပြတ်မှသာ) ထိုကိန်းပြည့် $x$ ကို သုဒ္ဓကိန်းဟုခေါ်ရေ။ သာဓကအရ ကိန်းပြည့် ၂ ကိုကြည့်ပါ။ မည်သည့်ကိန်းနှစ်ခုဧ မြှောက်လဒ်ကိုမဆို ၂ ဖြင့်စား၍ပြတ်ပါက ထိုကိန်းနှစ်လုံးထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်လုံးကိုလည်း ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်ရေ၊ ထို့ကြောင့် ၂ ရေ သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုဖြစ်ရေ။ ဒေအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရဆိုကေ ကိန်းပြည့်စုထဲဟိ -၂၊ -၃၊ -၅၊ -၇၊ ... စရေရို့ရေလည်း သုဒ္ဓကိန်းတိ ဖြစ်ကတ်ရေ။

သုဒ္ဓကိန်းတိကို သင်္ချာသန့်သန့်နယ်ပယ်တွင်သာမက အသုံးချသင်္ချာ၊ သိပ္ပံနန့် နည်းပညာ စသည့် ဘာသာရပ် နယ်ပယ်အသီးအသီးရို့တွင် တွိ့နိုင်ရေ။ သုဒ္ဓကိန်းရို့ဧ ဂုဏ်သတ္တိ မြောက်မြားစွာအနက် အချို့မှာ လူသိတိရေ။ ကိန်းပြည့် ၂ ရေ တစ်ခုတည်းရေ အပေါင်း စုံ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး၊ ကျန် အပေါင်း သုဒ္ဓကိန်းတိမှာ မကိန်းတိဖြစ်ရေ။ တစ်ထက်ကြီးရေ အပေါင်းကိန်းပြည့်တိကို သုဒ္ဓကိန်းတိသက်သက်သာ သုံး၍ ဆခွဲကိန်း ခွဲနိုင်ရေ။ (ဒေအချက်ကို ဂဏန်းသင်္ချာဧ အခြီခံသီအိုရမ် Fundamental Theorem of Arithmetic ဟုခေါ်ရေ။) သုဒ္ဓကိန်းတိနန့် ပတ်သက်၍ သက်သေမပြရသိမ်းရေအဆိုတိ (conjectures) တိလည်းဟိဧ။ ၎င်းရို့အနက် “နှစ်ထက်ကြီးရေ စုံကိန်းတိကို သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခုဧ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်ရေ” ဆိုသည့် ဂိုးဘဧ အဆို (Goldbach's conjecture) ရေ ထင်ရှားရေ။

အခြားကိန်းပြည့်အမျိုးအစားတိ

အထက်ဖော်ပြပါ ကိန်းပြည့်တိအပြင် သင်္ချာနန့် အခြားပညာသျှင်တိ လိလာစူးစမ်းသည့် အခြားကိန်းပြည့်အမျိုးအစားတိလည်း ဟိရေ။ ထင်ရှားရေ သာဓကတိမှာ ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ်တန်း (Fibonacci sequence) (OEIS ဟိ A000045) နန့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းဟု ခေါ်ဆိုနိုင်မည့် perfect number (OEIS ဟိ A000396) ရို့ဖြစ်ရေ။ ကျန်ဟိရေ ကိန်းစဉ်တန်းအမျိုးအစားတိကို On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) တွင် ကြည့်နိုင်ရေ။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းအမျိုးအစားတိ

ကိန်းစစ်နန့် ကိန်းယောင် (Real vs. Imaginary)

အထက်ပါ ကွန်ပလက်စ်ကိန်း ခေါင်းစဉ်အောက်တွင် ဖော်ပြခသည့်အတိုင်း၊ ကိန်းစစ်တိဖြင့် မလုံလောက်ရေအခါ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းခေါ် ကိန်းရှုပ်တိကိုလည်း အသုံးပြုရန်လိုအပ်လာရေ။ ကိန်းစစ်စုနန့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုရို့အကြား ဆက်နွယ်ချက်မှာ $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C}$ ဖြစ်ရေ။ တစ်နည်းဆိုရကေ ကိန်းစစ်တိုင်း ကွန်ပလက်စ်ကိန်းဖြစ်ကေလည်း ကိန်းစစ်မဟုတ်ရေ ကိန်ပလက်စ်ကိန်းတိလည်း ဟိရေ။ ထိုသို့ ကိန်းစစ်မဟုတ်ရေ ကွန်ပလက်စကိန်းတိကို ကိန်းယောင်သန့်သန့်တိ (pure imaginary numbers) ဟု ခေါ်ဆိုရေ။ ထိုကိန်းယောင်တိရေ bi ပုံသဏ္ဌာန် (ဒေတွင် b မှာ ကိန်းစစ်တစ်ခု) ဟိကတ်ရေ။ သာဓက၊ $i,-i,3i,(5/7)i,-\pi i$။

ကိန်းစစ်တိကို ကိန်းစစ်မျဉ်းတစ်ခုတည်းဖြင့် ဖော်ပြ၍ ရကေလည်း ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိကိုမူ ကိန်းမျဉ်းနှစ်ခု (ကိန်းစစ်ပိုင်းအတွက် အလျားလိုက်ဝင်ရိုး၊ ကိန်းယောင်ပိုင်းအတွက် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုး) သုံးမှ ဖော်ပြနိုင်ရေ။ ထိုသို့ဖော်ပြသည့်စနစ်ကို ကွန်ပလက်စ် ပြင်ညီ (complex plane) ဟုခေါ်ရေ။ ကိန်းစစ်တိရေ ကွန်ပလက်စ်ပြင်ညီတွင် အလျားလိုက်ဝင်ရိုးပေါ်ဟိ ကိန်းတိဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းယောင်တိရေ ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်ဟိ ကိန်းတိဖြစ်ရေ။

ကိန်းယောင်(သန့်သန့်) အစုကို $\mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ ဟု သင်္ကေတပြု၍ ဖော်ပြနိုင်ရေ။

ရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်နန့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ် (Rational vs. Irrational)

ရာရှင်နယ်ကိန်းတိခေါင်းစဉ်အောက်တွင် ဖော်ပြခသည့်တိုင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းရေ ကိန်းစစ်ဖြစ်ကေလည်း ရာရှင်နယ်ကိန်းမဟုတ်ရေ ကိန်းစစ်တိလည်းဟိရေ။ ထို ရာရှင်နယ်ကိန်းမဟုတ်ရေ ကိန်းစစ်တိကို အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) (ဝါ) အပိုင်းကိန်းမဟုတ်ရေ ကိန်းစစ်တိ ဟု ခေါ်ရေ။ တစ်နည်းဆိုရကေ အဆုံးလည်းမသတ်၊ ပြန်လည်းမထပ်သည့် ဒသမကိန်းတိမှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းတိဖြစ်ရေ။ သာဓကအားဖြင့် ${\sqrt {2}}$ နန့် $\pi$ ရို့မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်တိ ဖြစ်ကတ်ရေ။

အစုသီအိုရီဟိ အစုအရွယ်အစား (cardinality of a set) သဘောအရဆိုကေ ကိန်းစစ်စုအတွင်းဟိ ကိန်း “အားလုံးနီးပါး” (almost all) မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းတိဖြစ်ကတ်ရေ။ (ဒေတွင် “အားလုံးနီးပါး” ဟူရေအသုံးမှာ သာမန်မြန်မာစာ အသုံးမဟုတ်ဘဲ အစုသီအိုရီနန့် အတိုင်းအတာသီအိုရီ (measure theory) ဆိုင်ရာ တိကျသည့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် ဟိရေ။)

အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်အစုကို $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ ဟုသင်္ကေတပြုနိုင်ရေ။

ကိန်းရင်းနန့် ကိန်းလွန် (Algebraic vs. Transcendental)

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခုကို ကိန်းပြည့်အမြှောက်ကိန်း (integer coefficient) တိသာပါဝင်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခုဧ ကိန်းရင်းအဖြေ (root) အဖြစ်ဖော်ပြနိုင်ပါက ၎င်းကွန်ပလက်ကိန်းကို ကိန်းရင်းဟု ခေါ်ရေ။ သာဓကဆောင်ရကေ -၃ မှာ $x^{2}-9=0$ ဧ အဖြေတစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်ရေကြောင့် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ရေ။ ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းမှာ a/b (ဒေတွင် b မှာ သုညမဟုတ်) သဏ္ဌာန်ဟိ၍ $bx-a=0$ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းဧ အဖြေဖြစ်ရာ ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းရင်းတိဖြစ်ရေ။ ထို့အတူ ${\sqrt {2}}$နန့် ${\sqrt {3}}i$ ရို့မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းနန့် ကိန်းယောင်အသီးသီး ဖြစ်ကေလည်း $x^{2}-2=0$ နန့် $x^{2}+3=0$ ရို့ဧ မသိကိန်းအဖြေတိ အသီးသီးဖြစ်ရေကြောင့် ၎င်းရို့မှာလည်း ကိန်းရင်းတိ ဖြစ်ကတ်ရေ။

ကိန်းရင်းမဟုတ်ရေ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိကို ကိန်းလွန်တိ (transcendental numbers) ဟုခေါ်ရေ။ တစ်နည်းဆိုရကေ ကိန်းပြည့်အမြှောက်ကိန်းသက်သက်ပါ ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခုဧ အဖြေအဖြစ် ဖော်ပြ၍မရရေ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိကို ကိန်းလွန်တိဟု ခေါ်ရေ။ သာဓကဆိုရကေ $\pi$၊ $e$ အစဟိရေရို့ဖြစ်ရေ။

အခြားကိန်း အမျိုးအစားတိ

အထက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအမျိုးအစားတိအပြင် တွက်ချက်နိုင်ရေကိန်းတိ (computable numbers)၊ “p-အခြီခံကိန်းတိ” ဟုခေါ်ဆိုနိုင်မည့် p-adic ကိန်းတိ၊ ဟိုက်ပါကွန်ပလက်စ် (hypercomplex) ကိန်းတိ၊ စံမဟုတ်သည့် ကိန်းတိ (non-standard numbers) စရေဖြင့် ကိန်းဧသဘောတရားကို ချဲ့ထွင်ပြုပြင်ထားရေ ကိန်းတိစွာလည်းဟိသိမ်းရေ။

သမိုင်းကြောင်း

ကိန်းတိစတင်အသုံးပြုလာခြင်း

သမိုင်းဦးမတင်မီခေတ်ကပင် ကိန်းတိကိုစတင်အသုံးပြုလာရေ အထောက်အထားတိဟိရေ။ တိရစ္ဆာန်အရိုးစသည့် ပစ္စည်းတိတွင် ကိုက်ရာတိဖြင့် တာလီမှတ်ခရေဟု ခန့်မှန်းကတ်ရေ။ ယကေလည်း တာလီစနစ်တွင် နီရာလိုက်တန်ဖိုး (positional value) သဘောကို အသုံးမပြုရေကြောင့် အကန့်အသတ်တိ ဟိရေ။ ရှေးအကျဆုံးရေ ကိန်းစနစ်တိဖြစ်သည့် အီဂျစ်၊ ရောမ၊ ဟီဘရူးနန့် ဂရိကိန်းစနစ်တိတွင် နီရာလိုက်တန်ဖိုးကို အသုံးမပြုကေလည်း၊ အခြားကိန်းစနစ်တိဖြစ်သည့် ဘေဘီလုံ ကိန်းစနစ်၊ အိန္ဒိယကိန်းစနစ်တစ်မျိုး၊ တရုတ်ကိန်းစနစ်တစ်မျိုးနန့် မာယာကိန်းစနစ်ရို့တွင် နီရာကို အခြီခံ၍ တန်ဖိုးတွက်သည့် သဘောကိုတွိ့နိုင်ရေ။

သုညကို စတင်အသုံးပြုလာခြင်း

သုညကို စတင်၍ အမှတ်အသားပြုသူရို့မှာ ဆူမယ်ရီယန် (Sumerian) တိဖြစ်ရေဟု ခန့်မှန်းရရေ။ ယကေလည်း သုညဧသဘောတရား၊ သုညဧနီရာလိုက်တန်ဖိုး စရေရို့ကိုမူ ဆူမယ်ရီယန်ရို့ အသေအချာ နားလည်ခပုံမရချေ။ သင်္ချာအခြီခံတိကို အီဂျစ်ရို့ထံမှ သင်ယူခသည့် ဂရိပညာသျှင်ရေလည်း ထိုသဘောကို နားလည်ကြောင်း အထောက်အထား အခိုင်အမာ မတွိ့ရပေ။

သုညကို သင်္ကေတအဖြစ်သာမကဘဲ သဘောတရားတစ်ခုအဖြစ်ပါ အသေအချာ စတင်အသုံးပြုခသူတိမှာ အိန္ဒိယလူမျိုးတိဖြစ်ရေ။ အိန္ဒိယမှ ဗြာဟ္မဂုတ္တ (Brahmagupta) ရေ ၆၅၀စီအီးတွင် သုညကိုသုံး၍ ဂဏန်းသင်္ချာတွက်ချက်ခြင်းကို စနစ်တကျလုပ်ဆောင်ခရေ။ သင်္ကရိုက် (Sanskrit) ဘာသာဖြင့် သုညကို “sunya” ဟုခေါ်ရာမှ မြန်မာဘာသာဟိ ပါဠိမွေးစားစကားလုံး “သုည” ဖြစ်လာဟန်ဟိရေ။

အာရပ်ကုန်ရေတိရေ အိန္ဒိယမှ ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်နန့် အခြားကုန်ပစ္စည်းအသစ်အဆန်းတိအပြင် ဗြာဟ္မဂုတ္တဧ သင်္ချာကျမ်းကိုပါ ပြန်လည်သယ်ဆောင်လာကတ်ရာ ၇၇၃စီအီးသို့ရောက်ကေ (ဂုခေတ် အီရတ်နိုင်ငံဟိ) ဘဂ္ဂဒက်မြို့သို့ သုညဧသဘောတရား ရောက်ဟိပြီးဖြစ်ရေ။ အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသတွင် သုညဧသဘောတရား ပြန့်ပွားစည်ပင်လာရာ ကိုးရာစုနှစ်သို့ ရောက်ရေအခါ မိုဟာမက် အီဘင်မူဆာ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီ (Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi) ရေ သုညပါ ညီမျှခြင်းတိကို စတင်လိလာခပြီး မြှောက်ခြင်းနန့် စားခြင်းရို့ကို အမြန်တွက်နည်းရို့ကိုလည်း တီထွင်တွိ့ဟိခရေ။ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီက သုညကို “sifr” ဟုခေါ်ခရေ။ ခုနှစ် ၈၇၉စီအီးသို့ရောက်ကေ သုညကို မျက်မှောက်ခေတ်ရီးသားပုံအတိုင်း ဘဲဥပုံဖြင့် ရီးသားလာကတ်ရေ။

စပိန်ပြည်တောင်ပိုင်းကို မောရို့ (Moors) သိမ်းပိုက်ရာမှစပြီး တစ်ဆယ့်နှစ်ရာစုအလယ်ပိုင်းသို့ ရောက်ရေအခါ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီဧကျမ်းကို ဘာသာပြန်ထားရေကျမ်းတိရေ အင်္ဂလန်သို့ တဖြည်းဖြည်း ရောက်ဟိလာရေ။ ကုန်သွယ်စီးပွားရီးရာတိတွင် သုညရေ အလွန်အသုံးဝင်ကေလည်း သုညနန့် နီရာလိုက်တန်ဖိုးကို အသုံးပြုရီးသားထားရေ နံပါတ်တိကို တုပပြင်ဆင်ရီးသားရန် လွယ်ကူလွန်းရေဟုဆိုကာ ဥရောပဟိ အစိုးရတိက သုညနန့် အာရေဗျ ကိန်းစနစ်ကို ပိတ်ပင်ခရေတိလည်းဟိရေ။ ယကေလည်း ကုန်ရေတိက လျှို့ဝှက်သုံးစွဲခရာမှာ “sifr” ခေါ်သုညဧ အာရေဗျအမည်မှ ရွေ့လျောလာသည့် “cipher” ဆိုသည့် မျက်မှောက်ခေတ်စကားလုံးမှာ ဝှက်စာ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရလာရေ။ နောင်တွင် ရနေးဒေးကား (Rene Descartes) ဧ နာမည်ကျော် ကာတေးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် လည်းကောင်း၊ အခြားသင်္ချာပညာသျှင်တိဖြစ်သည့် နယူတန် (Newton) နန့် လိုက်ဘနစ် (Leibniz) စရေရို့ဧ လိလာမှုတိတွင် သုညကို အသုံးပြုခပြီး ကဲကုလပ်နန့် အခြားသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုတိ ပေါ်ပေါက်ခပေရေ။

အနှုတ်ကိန်းတိ စတင်အသုံးပြုလာခြင်း

အနှုတ်ကိန်းဟူသည့် သဘောတရားကို အစောဆုံး ၁၀၀ ဘီစီအီး နန့် ၅၀ ဘီစီအီးအကြားတွင် တရုတ်လူမျိုးရို့ သိမြင်နားလည်ခပုံရရေ။ “သင်္ချာအနုပညာနန့် ပတ်သက်သည့် အခန်းကိုးခန်း” အမည်ရ တရုတ်ကျမ်းတွင် ပုံသဏ္ဌာန်အမျိုးမျိုးဧ ဧရိယာရှာပုံရှာနည်းကို ဖော်ပြရာတွင် အပေါင်းအမြှောက်ကိန်း (positive coefficient) တိကို အနီရောင်အစက်ပြောက်တိနန့်လည်းကောင်း၊ အနှုတ်အမြှောက်ကိန်း (negative coefficient) တိကို အနက်ရောင်အစက်ပြောက်တိနန့်လည်းကောင်း ကိုယ်စားပြုရီးသားထားရေ။

သုံးရာစုနှစ်အတွင်းသို့ ရောက်ရေအခါ ဂရိပညာသျှင် ဒိုင်အိုဖန်တပ် (Diophantus) ဧ Arithmetica ခေါ် ဂဏန်းသင်္ချာကျမ်းတွင် $4x+20=0$ ဟူ၍ ဂုခေတ်ပုံစံဖြင့် ရီး၍ရမည့် ညီမျှခြင်းကို ဖြေရှင်းရာတွင် ရဟိသည့် အနှုတ်ကိန်းအဖြေကို အဓိပ္ပာယ်မဟိဟု ကျမ်းပြုသူကိုယ်တိုင် မှတ်ချက်ချဖူးရေ။ ဒိုင်အိုဖန်တပ်ရေ အနှုတ်ဂဏန်းပါ တွက်ချက်မှုအချို့ကို ပြုလုပ်ခကေလည်း အနှုတ်ဧ ယေဘုယျသဘောတရားအကြောင်းကို ရှင်းလင်းရီးသားခခြင်းမဟိပေ။

စီအီး ခုနစ်ရာစုသို့ ရောက်ရေအခါမှသာ အိန္ဒိယပညာသျှင် ဗြာဟ္မဂုတ္တဧကျမ်းတွင် နှစ်ထပ်ကိန်းညီမျှခြင်းရှင်းနည်းကို အနှုတ်ကိန်းတိသုံး၍ ဖော်ပြခရေ။ အနှုတ်ကိန်းသုံး၍ တွက်ချက်ရာတွင် လိုက်နာရမည့် စည်းမျဉ်းတိကိုလည်း ရီးသားခရေ။

နောက်ပိုင်းရာစုတိတွင် အနှုတ်ကိန်းအကြောင်းကို ကမ္ဘာအရပ်ရပ်မှ ပညာသျှင်ရို့ မှတ်ချက်ပြုရီးသားခကေလည်း ဒေအနှုတ်သဘောကို အလွယ်တကူ လက်ခံခခြင်းမဟိပေ။ စီအီး ကိုးရာစု အရှေ့အလယ်ပိုင်းမှ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီက အနှုတ်ကိန်းတိကို အသုံးမပြုဘဲ နှစ်ထပ်ကိန်းညီမျှခြင်းရှင်းနည်းကို ခြီာက်မျိုးခွဲ၍ရီးသားခပြီး၊ တစ်ဆယ့်နှစ်ရာစု အိန္ဒိယမှ ဘက်ရှ်ကာရာ (Bhaskara) က အနှုတ်ကိန်းရင်းအဖြေကို “မပြည့်စုံ၍၊ လူရို့သဘောမတူ၍ ယူစရာမလို” ဟုလည်းကောင်း၊ ဆယ့်ငါးရာစု ဥရောပမှ ရှူကေး (Chuquet) က “အဓိပ္ပာယ်မဟိရေ နံပါတ်တိ” ဟူ၍လည်းကောင်း၊ ဆယ့်ခြီာက်ရာစု ဥရောပမှ ရှတီဖယ်က သုညထက်နည်းသည့် အတုအယောင်ကိန်း အဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဆယ့်ခုနစ်ရာစု ဥရောပမှ ဒေးကားက အနှုတ်ကိန်းရင်းတိရေ အဖြေမှားတိ အဖြစ်လည်းကောင်း အသီးသီး ရီးသားခကတ်ရေ။ သမိုင်းအဆက်ဆက်မှ ပညာသျှင်အချို့က အနှုတ်ကိန်းကို အလုံးစုံကေလည်းကောင်း၊ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းမျှသာလည်းကောင်း လက်ခံခသည့် ဖြစ်ရပ်တိ ဟိကေလည်း တစ်ဆယ့်ကိုးရာစု နောက်ပိုင်းရောက်မှသာ အနှုတ်ကိန်းတိကို တဖြည်းဖြည်း တွင်ကျယ်စွာ အသုံးပြုလာဟန်ဟိရေ။