Wp/prg/Funkciōni

Funkciōni - matemātiskan ōbjaktan, kawīdan preiteikāi eraīnasmu elamēntan iz aīnan tūliskwan akrāts aīnan elamēntan iz kittan tūliskwan.

Fōrmala definiciōni

Funkciōni ast definītan en tūliskwan teōrijas billai. X,Y seīsei ebwīrpas tūliskwas. Per funkciōnin $f\colon X\to Y$ ast bilītan relaciōni sirzdau tūliskwans X be Y, izpilninta āudairan:

$\forall _{x\in X}\;{\exists !}_{y\in Y}\;xfy$

• Tūlisku X ast bilītan per funkciōnis dōmeni.
• Tūlisku Y ast bilītan per funkciōnis prikidōmeni (kodōmeni).
• Per argumēntin ast bilītan eraīnan dōmenis elamēntan.
• Per argumēntis wertin ast bilītan prikidōmenis elamēntan, kawīdsmu pastāi preiteikātan šin argumēntin (kawīdan ast en relaciōnei f sen argumēntin).
• Per funkciōnis pawīdan ast bilītan wisēisan wertin tūlisku.
• Per wērtis prikipawīdan ast bilītan tūlisku stēisan wissan argumēntin, kawīdamans ast preiteikātan šī wertē (kawīdai ast en relaciōnei f sēn šan wertin).
• Per tūliskwan $A\subseteq X$ pawīdan ast bilītan prikidōmenis patūlisku stēisan elamēntan, kawīdai ast pawīdas stēisan elamēntan iz tūliskwan A:

$f(A)=\left\{y\in Y\colon \exists _{x\in A}\;y=f(x)\right\}\subseteq Y,$

• Per tūliskwas $B\subseteq Y$ prikipawīdan ast bilītan dōmenis patūlisku stēisan elamēntan, kawīdan wertis ast en tūliskwai B.

$f^{-1}(B)=\left\{x\in X\colon \exists _{y\in B}\;f(x)=y\right\}\subseteq X.$

Swajawīdiskwas

En tūliskwan teōrijas billai mazzimai šlaitīntun klassins stēisan funciōnin:

• injakciōnis (šlaitawīngiwertīngis funkciōnis)
• surjakciōnis ("nō" funkciōnis)
• bijakciōnis (abipussi ainazentlawingis funkciōnis)

Kaddan tūliskwas X be Y turri topolōgijans, staddan mazzimai šlaitīntun klassin stēisan nistanīntan funciōnin.

En mattas teōrijai, ik tūliskwas X be Y turri mattauminas struktūris, staddan mazīmai bilītun ezze klassin stēisan mattauminan funciōnin.

Segīsnas na funkciōnins

Turīntei dwāi funkciōnins $f:X\to Y$ be $g:Y\to X$, per tenesse sendīsenin ast bilītan funkciōni $h:X\to Z$ dātan pra fōrmulin $h(x)=g(f(x))$ be ast ebzentlitan per $g\circ f$, adder skaitātan per "f sendītan sēn g".

Mazīmai dīgi definītun segīsnans sirzdau funkciōnins sen stan subban dōmenin be prikidōmenin pra segīsnans na tenēisan wērtins. Staddan sirzdau funkciōnins turrimai wissans segīsnans iz prikidōmenin. Perwaidīnsnai, ik en prikidōmenei ast definītan preidajasnā, staddan mazīmai preidajātun funciōnins:

$\forall f,g:X\to Y\;(f+g)(x):=f(x)+g(x)$

Istōrija

Pīrman funciōnis definiciōnin dāi šwēiceriskas matamātikeris Johann Bernoulli. Tēntiskan definicīonin dāi miksiskas matemātikeris Peter Dirichlet en 1837 mettan.