Wp/grc/Ἀριθμητικογεωμετρικόν μέσον

Ἐν τῇ μαθηματικῇ, τὸ Ἀριθμητικογεωμετρικὸν μέσον δὐο θετικῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν x καὶ y ὁρίζεται ὧδε:

Ὑπολογίζειν τὸ ἀριθμητικὸν καὶ τὸ γεωμερικὸν μέσον τῶν x καὶ y, καλεῖν ταῦτα a₁ καὶ g₁,

${\begin{aligned}a_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x+y)\\g_{1}&={\sqrt {xy}}~.\end{aligned}}$

Αὐτίκα ἐπαναλαμβάνειν ἐπὶ a₁ ἀντὶ x καὶ g₁ ἀντὶ y, ὥστε ὧδε ὁρίζειν δύο ἀκολουθίας (a_n καὶ g_n),

${\begin{aligned}a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n})\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}~.\end{aligned}}$

Αἱ ἀκολουθίαι ταύται συγκλίνουν τῷ αὑτῷ ἀριθμῷ, τῷ Ἀριθμητικογεωμετρικῷ μέσῳ τῶν x καὶ y, ὅπερ κέκληται M(x, y). Μέμνησο γὰρ $g_{n}\leqslant a_{n}$, ὅθεν $g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geqslant {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}$ . Ἡ ἀκολουθία g_n ἐστὶ αὔξουσα, ἡ δὲ a_n φθίνουσα, ὅθεν g_n ≤ M(x, y) ≤ a_n, καὶ τὸ ὅριον M(x, y) κεῖται μεταξὺ τῶν x καὶ y:

${\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}$

ἔνθα K(k) τὸ πλῆρες ἐλλειπτικὸν ὁλοκλήρωμα πρώτου εἴδους ἐστίν,

$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}.$

Ὁ πρῶτος ἀλγόριθμος ἐκπονηθεὶς ὑπὸ τοῦ ἀνυπερβλήτου Λαγρανζίου (Lagrange), διερευνήθη ὑπὸ τοῦ εὐκλεοῦς Γαύσωνος (Gauss).

Ἐπὶ παραδείγματι, τὸ ἀριθμητικογεωμετρικὸν μέσον τῶν a₀ = 24 καὶ g₀ = 6, ἐκβαίνει πρώτιστον τῶν

${\begin{aligned}a_{1}&={\tfrac {1}{2}}(24+6)=15\\g_{1}&={\sqrt {24\times 6}}=12\end{aligned}}$

κατ᾽ ἐπανάληψιν ὧδε,

${\begin{aligned}a_{2}&={\tfrac {1}{2}}(15+12)=13.5\\g_{2}&={\sqrt {15\times 12}}=13.41640786500\dots \\\dots \end{aligned}}$

Αἱ πέντε πρῶται ἐπαναλήψεις ἀποδίδουσιν

n	an	gn
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416407864998738178455042…
3	13.458 203932499369089227521…	13.458 139030990984877207090…
4	13.4581714817 45176983217305…	13.4581714817 06053858316334…
5	13.4581714817256154207668 20…	13.4581714817256154207668 06…

Ὡς εἰκός, τὸ ἀριθμητικογεωμετρικὸν μέσον τῶν 24 καὶ 6 ἐστὶν ὧδε τὸ κοινὸν ὅριον τῶν ἀκολουθιῶν, τουτέστιν 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.

Ἀναφοραὶ

Ἥδε ἡ ἐγγραφὴ δεῖ παρεκτενεῖσθαι . Βοηθεῖτε μετὰ τῆς ὑμετέρας εἰσφορᾶς τῇ ἐργασίᾳ ταύτῃ.