Wp/grc/Ἀριθμητικογεωμετρικόν μέσον

From Wikimedia Incubator
< Wp‎ | grcWp > grc > Ἀριθμητικογεωμετρικόν μέσον
Jump to navigation Jump to search

Ἐν τοῖς Μαθηματικοῖς, τὸ Ἀριθμητικογεωμετρικόν μέσον δὐο θετικῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν x καὶ y ὁρίζεται ὧδε:

Ὑπολογίζειν το ἀριθμητικὸν καὶ το γεωμερικὸν μέσον τῶν x καὶ y, καλεῖν ταῦτα a1 καὶ g1,

Αὐτίκα ἐπαναλαμβάνειν ἐπὶ a1 ἀντὶ x καὶ g1 ἀντὶ y, ὥστε ὧδε ὁρίζειν δύο ἀκολουθίας (an καὶ gn),

Αἱ ἀκολουθίαι ταύται συγκλίνουν τῷ αὑτῷ ἀριθμῷ, τῷ Ἀριθμητικογεωμετρικῷ μέσῳ τῶν x καὶ y, ὅπερ κέκληται M(x, y). Μέμνησο γὰρ , ὅθεν . Ἡ ἀκολουθία gn ἐστὶ αὔξουσα, ἡ δὲ an φθίνουσα, ὅθεν gnM(xy) ≤ an, καὶ τὸ ὅριον M(x, y) κεῖται μεταξὺ τῶν x καὶ y:

ἔνθα K(k) τὸ πλῆρες ἐλλειπτικὸν ὁλοκλήρωμα πρώτου εἴδούς ἐστιν,

Ὁ πρῶτος ἀλγόριθμος ἐκπονηθεὶς ὑπὸ τοῦ ἀνυπερβλήτου Λαγρανζίου (Lagrange), διερευνήθη ὑπὸ τοῦ εὐκλεοῦς Γαύσωνος (Gauss).[1]

Ἐπὶ παραδείγματι, τὸ ἀριθμητικογεωμετρικόν μέσον τῶν a0 = 24 καὶ g0 = 6, ἐκβαίνει πρώτιστον τῶν

κατ᾽ἐπανάληψιν ὧδε,

Αἱ πέντε πρῶται ἐπαναλήψεις ἀποδίδουσιν

n an gn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.416407864998738178455042…
3 13.458 203932499369089227521… 13.458 139030990984877207090…
4 13.4581714817 45176983217305… 13.4581714817 06053858316334…
5 13.4581714817256154207668 20… 13.4581714817256154207668 06…

Ὡς εἰκὸς, τὸ ἀριθμητικογεωμετρικόν μέσον τῶν 24 καὶ 6 ἐστὶν ὧδε τὸ κοινὸν ὅριον τῶν ἀκολουθιῶν, τουτέστιν 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.[2]

Ἀναφοραὶ[edit]

  1. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein (2004), π: A Source Book, p.481 Springer ISBN 978-0-387-20571-7
  2. agm(24, 6) at WolframAlpha