Wp/isv/Izvod
Izvodom funkcije v matematikě nazyvaje se granica
.
jest někoje pravdivo čislo i se rěče izměna argumenta, a izraz rěče se izměna funkcije. Itak, izvod funkcije jest granica odnošenja medžu izměnoj funkcije i izměnoj jej argumenta, abo, inymi slovami, ocěnka izměny funkcije.
Osnovne vědomosti
[edit | edit source]Izvod funkcije obyčno se označaje kako . To označenje byše vvedeno od Josepha Louisa Lagrange'a. Ako funkcija prěměnnoj jest označena literoju , to jej izvod može se označati jako abo jako . Poslědno označenje byše vvedeno od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, iže dolgo se učil infinitezimalnomu čisljenju.
Izvod jest mnogo udobny instrument v razsmotrjenju funkcije: jego znak dozvalja dověděti se, raste funkcija ili padaje, i s kojej bystrostu. Točněje:
- ako izvod jest polžen, togda funkcija raste;
- ako izvod jest odrečen, togda funkcija padaje;
- ako v točkě izvod imaje absolutnu cěnnost, večšu, čem v točkě , togda v okolině točky funkcija izměnjaje se bystrěje, čem v okolině točky .
Izvod funkcije v oprěděljenoj točkě jest naklon prěmoj, koja se dotyče k grafiku v toj točke. Ta prěma može takože prěsěkti grafik u inoj točkě.
Ako v někojej točke izvod jest raven nulě, to taka točka rěče se stacionarna abo kritična. Prěma, koja se dotyče k grafiku funkcije v kritičnoj točke, jest ravnoběžna k osi abscys.
Da by jestvoval izvod funkcije v oprěděljenoj točke, funkcija imaje byti bezprěrvyna v toj točke, ale ne vsegda, ako funkcija jest bezprěryvna v oprěděljenoj točke, to ona imaje izvod v toj točke.
Izvod postojannoj funkcije
[edit | edit source]Ako imajemo postojannu funkciju , to jej izvod jest:
.[1]
To možno takože polučiti inym sposobom: funkcija imaje jednaku cennost na vsej pravdivoj množině, slědovateljno izvod ne može byti ni polžnym, ni odrečnym, tomu on imaje byti raven nulě.
Izvod totožnoj funkcije
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:
Izvod močnosti
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:
Vynesimo iz zatvorok množitelj :
Pomnožimo i razdělimo imenovatelj na :
Izvod proizvoda funkcije na postojannu
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:
Izvod sumy funkcij
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:
.
To pravilo možno razširiti do trěh i bolje funkcij.
Analogično se nahodi izvod raznice. Kromě togo, ako imajemo linearnu funkciju , jej izvod jest
,
i ravni se naklonu prěmoj, koja jest grafikom toj funkcije. Možemo rěkti, že ako majemo prěmu, to jedina prěma, koja se dotyče k toj prěmoj, jest ta sama prěma.
Izvod proizvoda funkcij
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:
Odojmimo i dobavimo izraz do ujmajemogo čislitelja: .
To pravilo možno obobčiti: aby nadjti izvod proizvoda ktoroj-libo kolikosti funkcij, izvod každoj funkcije se množi na vse ostatne funkcije, a potom vse izvody se dobavjajut.
Iz togo slěduje, že izvod funkcije jest . To jest pravda navet togda, kogda pokazatelj ne jest naturalny.
Izvod količnika funkcij
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:
Izvod logaritma
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , to jej izvod jest:
Pomnožimo čislitelj i znamenatelj na :
To pravilo možno obobčiti, ako zaměsto prirodnoj osnovy koristiti ktorukoli osnovu . Togda izvod funkciji bude .
Izvod složenoj funkciji
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda možno dokazati, že jej izvod jest .
To pravilo rěče se pravilo lanca i jego možno obobčiti dla trěh i veče funkcij.
Izvod trigonometričnyh funkcij
[edit | edit source]Izvod sinusa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:
Izvod kosinusa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:
Izvod tangensa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/incubator.wikimedia.org/v1/":): {\displaystyle y=\text{tg}\space x=\frac{\sin x}{\cos x}} , togda jej izvod jest:
Izvod kotangensa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y=\text{ctg}\space x=\frac{\cos x}{\sin x}} , togda jej izvod jest:
Izvod sekansa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest: Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y=-\left(\cos x\right)^{-2}\cdot\left(-\sin x\right)=-\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\left(-\sin x\right)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\text{tg}\space x\cdot\sec x}
Izvod kosekansa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest: Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y'=-\left(\sin x\right)^{-2}\cdot\cos x=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}=-\text{ctg}\space x\csc x}
Izvod obratnoj funkcije
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda obratna funkcija jest , abo . Věmo, že
. Kromě togo,
.
Slědovateljno,
Izvod pokazateljnoj funkcije
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju , togda obratna funkcija jest , a izvod jest: .
Osoblivo, izvod funkciji jest .
Izvod obratnyh trigonometričnyh funkcij
[edit | edit source]Izvod arksinusa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y=\text{arcsin}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y'=\frac{1}{\cos\left(\text{arcsin}\space x\right)}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\sin\left(\text{arcsin}\space x\right)\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
Izvod arkkosinusa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y=\text{arccos}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y'=\frac{1}{-\sin\left(\text{arccos}\space x\right)}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\cos\left(\text{arccos}\space x\right)\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
Izvod arktangensa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y=\text{arctg}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y'=\frac{1}{\sec^2\left(\text{arctg}\space x\right)}=\cos^2\left(\text{arctg}\space x\right)=\frac{1}{\left(\text{tg}\left(\text{arctg}\space x\right)\right)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}}
Izvod arkkotangensa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y=\text{arcctg}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y'=\frac{1}{-\csc^2\left(\text{arcctg}\space x\right)}=-\sin^2\left(\text{arctg}\space\frac{1}{x}\right)=\cos^2\left(\text{arctg}\space\frac{1}{x}\right)-1=\frac{1}{\left(\text{tg}\left(\text{arctg}\frac{1}{x}\right)\right)^2+1}-1=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2+1}-1=\frac{1}{\frac{1}{x^2}+1}-1=\frac{1}{\frac{1+x^2}{x^2}}-1=\frac{x^2}{x^2+1}-1=\frac{x^2-x^2-1}{x^2+1}=-\frac{1}{x^2+1}}
Izvod arksekansa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y=\text{arcsec}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/incubator.wikimedia.org/v1/":): {\displaystyle y'=\frac{1}{\text{tg}\left(\text{arcsec}\space x\right)\cdot\sec\left(\text{arcsec}\space x\right)}=\frac{1}{\text{tg}\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)\cdot x}=\frac{\text{ctg}\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)}{x}=\frac{\cos\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)}{\sin\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)\cdot x}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\cos\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)\right)^2}}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}=\frac{1}{x^2\cdot\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}}
Izvod arkkosekansa
[edit | edit source]Ako imajemo funkciju Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y=\text{arccsc}\space x} , togda jej izvod jest: Failed to parse (unknown function "\space"): {\displaystyle y'=\frac{1}{-\text{ctg}\left(\text{arccsc}\space x\right)\cdot\csc\left(\text{arccsc}\space x\right)}=-\frac{\text{tg}\left(\text{arccsc}\space x\right)}{x}=-\frac{\text{tg}\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)}{x}=-\frac{\sin\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)}{\cos\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)\cdot x}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\sin\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)\right)^2}}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}=-\frac{1}{x^2\cdot\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}}
Izvody vysšego reda
[edit | edit source]Red izvoda jest kolikost priměnjenij toj operaciji. Izvod prvogo izvod jest vtory izvod, izvod vtorogo izvoda jest tretji izvod i t. d.
Vtory izvod funkcije označaje se kako , tretji kako . Izvod reda označaje se kako .
Drugy izvod da vědomosti odnosno vypuklosti funkcije. Ako , togda funkcija v točkě jest vypukla, a ako , togda funkcija v točkě jest vgnuta.
Ako , togda točka rěče se točka prigyba.
Izvody funkcij s několikymi prěměnnymi
[edit | edit source]Ako funkcija imaje bolje, čem jednu prěměnnu, togda možno nadjti jej izvod odnosno ktoroj-nebud, koristeči jednake pravila. Napisanja i označaut izvod funkcije odnosno prěměnnoj , a napisanja i označajut jej izvod odnosno prěměnnoj .
Izvod funkcije odnosno kojej-nebud prěměnnoj, iže se ne pojavja v njej, jest raven nulě.
Zamětky
[edit | edit source]- ↑ To ne jest neoprěděljenost, bo čislitelj jest raven nulě, a ne bliži se k nulě.