Wb/yue/0.999.../幾何級數證明

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證明

用0.999...嘅幾何級數定義嘅話，

$0.999...=9\left({\frac {1}{10}}\right)+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\ldots$

可以睇得出呢條係一條等比級數，公比係${\frac {1}{10}}$。由於${\frac {1}{10}}<1$，可以套用等比級數公式，得出

$0.999...=9\left({\frac {1}{10}}\right)+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\ldots ={\frac {9\left({\frac {1}{10}}\right)}{1-{\frac {1}{10}}}}=1$

得證。