Wp/mag/सदिश राशि

जौन भौतिक राशिमे मात्रा (परिमाण) एवं दिशा दुनो निहित होवहे ओकरा सदिश राशि कहल जाहे । सदिश राशिके उदाहरण हे - वेग, बल, संवेग इत्यादि । जौन राशिमे खाली परिमाण होवहे ओकरा अदिश राशि कहल जाहे, जैसे - चाल, दूरी, द्रव्यमान, आयतन, ताप, समय इत्यादि ।

सदिश राशिके अदिशसे अलगे बुझेके कारण ई हे कि हमनी कखनियो-कखनियो केहु राशिके दिशाके ज्ञान कैल आवश्यक होवहे । जैसेकि जमीन पर रखल कौनो बक्सा पर बल कौन दिशामे लगैत हे आउ केत्ता लगैत हे - ई स्पष्टतया नै बतावल जाय त ई कहल कठिन हे कि बक्सा घसकत कि न । यदि हमनी बल उपरेसे नीचे दन्ने लगावी त बक्सा केत्तो बल लगावेसे नै घसकत । पर यदि हमनी एकर क्षैतिज रूपसे लगावी त एक नियत मात्राके बलके बाद ई घसके लगत । गणित एवं भौतिक विज्ञानमे सदिशके बडी उपयोग हे ।

सदिशसे सम्बन्धित गणित

सदिश योग

दु या अधिक सदिशके योग निकालेला ज्यामितिके प्रयोग कैल जाहे । उदाहरणला सामनेके चित्रमे दु सदिशके योग निकालेला 'त्रिभुजके नियम' के प्रयोग कैल गेलहे । $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$

यदि सदिश अपन घटकके रूपमे देल गेल होवे त उनकर योग घटकके योग निकालके कैल जा सकहे । मानी दु सदिश अपन n-घटकके रूपमे देल गेलहे ।

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})

एवं

\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, ..., b_{n})

त इनकर योग $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ निम्नलिखित होत:

\vec{c} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, ..., a_{n} + b_{n})

सदिशके योगमे निम्नलिखित दु नियमके पालन होवहे:

क्रमविनिमेय नियम:

\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}

साहचर्य नियम:

\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}

सदिशके व्यकलन (घटाना)

सदिशके घटाओ ओइसहीँ कैल जाहे जैसे सदिशके योग । सदिश $\vec{a}$ आउ सदिश $\vec{b}$ के अन्तर वास्तवमे सदिश $\vec{a}$ आउ $- \vec{b}$ के योगे हे । यदि सदिश अपन घटकके रूपमे देल होवे तैयो ओही प्रकारसे ओकरा घटावल जाहे:

\vec{a} - \vec{b} = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}, ..., a_{n} - b_{n})

यदि देल सदिश ई होवे

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})

आउ

\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, ..., b_{n})

यदि हमनी केहु सदिश $\vec{a}$ मे ओकर समान परिणाम किन्तु विपरीत दिशा वाला सदिश $- \vec{a}$ के जोड़ही त हमनीके शून्य सदिश प्राप्त होवहे, जेकर परिमाण शून्य होवहे ।

\vec{a} + (- \vec{a}) = \vec{a} - \vec{a} = (a_{1} - a_{1}, a_{2} - a_{2}, ..., a_{n} - a_{n}) = (0, 0, ..., 0) = O

सदिश गुणन

सदिशके कौनो सङ्ख्यासे गुणन

कौनो सदिशमे केहु सङ्ख्या (स्केलर) के गुणा कैल जाये ते परिणाममे जे सदिश भेटहे ओकर परिमाण ऊ सदिश आउ ओह सङ्ख्याके गुणनफलके बराबर होवहे जखनिकि ओकर दिशा मूल सदिशके दिशे रहहे । उदाहरणला सदिश $\vec{a}$ मे सङ्ख्या $k$ के गुणा करेपर परिणामी सदिशके सभ घटक मूल सदिशके सभ घटकके k गुना हो जैतै:

k \cdot \vec{a} = k \cdot (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) = (k a_{1}, k a_{2}, ..., k a_{n})

दु सदिशके 'सदिश गुणन'

दु सदिशके सदिश गुणनके परिणाम एक सदिश होवहे । सदिश गुणनला $\times$ चिह्नके प्रयोग कैल जाहे । सदिश गुणनसे प्राप्त सदिशके परिमाण निम्नलिखित होवहे:

| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin α

जन्ने $α$ दुनो सदिशके बीचके कोण हे । परिणामी सदिशके दिशा दुनो सदिश $| \vec{a} |$ और $| \vec{b} |$ के लम्बवत दिशामे होवहे ।

यदि दु सदिशके तीन परस्पर लम्बवत घटक देल गेल होवे, जैसे $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ आउ $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ त उनकर सदिश गुणनके परिणामी सदिश निम्नलिखित होत:

\vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} {\vec{e}}_{1} & {\vec{e}}_{2} & {\vec{e}}_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = (| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} |, | \begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix} |, | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} |)

दु सदिशके 'अदिश गुणन'

दु सदिशके गुणा करेके एक आउ बिधि हे, जेकरा 'अदिश गुणन' (स्केलर गुणन) कहल जाहे । अदिश गुणनके परिणामस्वरुप एक अदिश राशि भेटहे, एहीसे एकर नाम 'अदिश गुणन' हे । अदिश गुणनके बिन्दु (डॉट) द्वारा दर्शावल जाहे ।

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

आउ

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos α

भौतिकशास्त्रमे बल एवं बल द्वारा वस्तुमे कैल गेल विस्थापनके अदिश गुणन करेसे कार्यके गणना कैल जाहे ।

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