Wp/mag/सदिश बीजगणित

सदिशके योग एवं अदिश गुणनफल (स्केलिङ्ग)

सदिश बीजगणित (वेक्टर अल्जेब्रा) के अन्तर्गत सदिश राशिके योग, गुणन आदिके अध्ययन कैल जा हे ।

सदिशके परिमाण

यदि त्रिविम युक्लिडीय स्पेसमे एक सदिश = a₁e₁ + a₂e₂+ a₃e₃ हे (जन्ने e₁, e₂, e₃ लम्ब इकाई सदिश हे), त सदिशके परिमाण निम्नलिखित रूपसे ज्ञात कैल जैतै-

एकर अतिरिक्त केहु सदिश राशिसे ओकर अदिश गुणनफलके परिमाणके वर्गमूल लेवेपर ऊ सदिशके मान निकालल जा सकहे ।

सदिश योगके नियम

मानी कि =a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ एवं =b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃, हे जन्ने e₁, e₂, e₃ लम्ब इकाई सदिश हे ।

तो एबं का योगफल निम्नलिखित होगा-

सदिशके अन्तर

यदि

=a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ एवं

=b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃ होवे त-

सदिश आउ के अन्तर निम्नलिखित होत -

सदिशके वियोजन

केहु सदिशके दु परस्पर लम्बवत सदिशमे वियोजन

केहु सदिशके दु या दु से अधिक सदिशके योगके रूपमे निरूपित कैल जा सकहे । स्पष्टतः ऐसन अनन्त विधिसे कैल जा सकहे । किन्तु कौनो देल सदिशके केहु दु दिशामे वियोजन मात्र एके प्रकारसे कैल जा सकहे । प्रायः देल दु दिशा परस्पर लम्बवत होवहे जैसन कि चित्रमे देखावल गेलहे ।

सदिश् गुणन

अदिशसे गुणन

एक सदिशके एक अदिशसे गुणा कैल जाये त परिणाम एक सदिश होत जे पूर्वोक्त सदिशके दिशामे होत । उदाहरणला केहु सदिश के यदि एक अदिश r द्वारा गुणा कैल जाये त गुणनफल निम्नलिखित होत -

अदिश गुणन या डॉट गुणन

पुनः दु सदिशके अदिश या डॉट गुणनफल एक अदिश राशि होवहे । दु सदिशके डॉट गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) निम्नलिखित प्रकारसे पारिभाषित हे -

सदिश बीजगणितके सूत्र

त्रिभुज सूत्र

केहु त्रिभुजके दु संलग्न भुजा क्रमसे दु सदिशके निरूपित करे (परिणाम आउ दिशा दुनो) त त्रिभुजके तीसरा भुजा विपरीत क्रममे ई दु सदिशके योग (परिणाम आउ दिशा दुनोमे) निरूपित करत ।

बहुभुज सूत्र

दु से अधिक सदिशके ई प्रकार सजावल जाये कि प्रथम सदिशके शीर्ष पर दोसर सदिशके गोड़ होवे आउ दोसरके माथा पर तीसराके गोड़ होवे त ईसङ सदिशके योग प्रथम सदिशके पादके अन्तिम सदिशके शीर्षसे मिलावेवाला सदिशके बराबर होत ।

बिनिमय सूत्र

बण्टन सूत्र

संयोग सूत्र

इहो देखी

• सदिश कलन
• सदिश बीजगणितके सूत्र
• सदिश कलनके सर्वसमिका