Wp/mag/प्रक्षेप्य गति

नलसे निकलेवाला जलके मार्ग प्रक्षेप्यके आकारके होवहे ।

प्रक्षेप्य गति गतिके एक रूप हे, जन्ने कौनो पिण्ड (जेकरा प्रक्षेप्य कहल जा हे) के पृथिवीके सतहके निकट क्षितिजसे कौनो कोण पर प्रक्षेपित कैल (फेकल) जा हे आउ ई गुरुत्वाकर्षणके अधीन वक्रीय गति करहे (विशेषरूपसे वायु प्रतिरोधके प्रभाव नगण्य मानल जा हे) । प्रक्षेप्यके पथके प्रक्षेप्य वक्र कहल जा हे । यदि प्रक्षेप्य पर केवल एके दिशामे नियत बल लगैत होवे (जैसे गुरुत्वाकर्षण बल), त ओकर गतिके पथ परवलयके आकारके होवहे । एहीसे प्रायः प्रक्षेप्य गतिके परवलयिक गतियो कहल जा हे ।

प्रक्षेप्य गतिके गतिज राशि

प्रक्षेप्य गतिमे क्षैतिज गति आउ ऊर्ध्वाधर गति एक दोसरासे स्वतन्त्र होवहे अर्थात् कौनो एकमे परिवर्तन अन्यसे प्रभावित नै होवे ।

वेग

प्रक्षेप्यके प्रारम्भिक वेग

प्रक्षेप्यके प्रारम्भिक वेगके घटक

प्रक्षेप्यके प्रारम्भिक वेगके घटक

यदि प्रक्षेप्यके एकर प्रारम्भिक वेग v₀ के साथे प्रक्षेपित कैल जा हे, त एकरा निम्न प्रकार लिखल जा सकहे

$\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}$ ।

यदि प्रक्षेप्य कोण θ के मान ज्ञात होवे त, वेग v₀ के घटक v_0x आउ v_0y के निम्न प्रकार लिखल जा सकहे:

$v_{0x}=v_{0}\cos \theta$,

$v_{0y}=v_{0}\sin \theta$ ।

यदि प्रक्षेप्यके गतिके परास, प्रक्षेपण कोण, आउ प्रक्षेप्य द्वरा प्राप्त अधिकतमौच्च्य ज्ञात होवे त, प्रक्षेपण वेग निम्नलिखित सूत्रसे निकालल जा सकहे -

$V_{0}={\sqrt {{R^{2}g} \over {R\sin 2\theta +2h\cos ^{2}\theta }}}$ ।

गति खन्नि प्रक्षेप्यके क्षितिज वेगके मान नियत रहत काहेकि ई दिशामे कौनो त्वरण नै हे । वेगके उर्ध्व घटकमे रैखीक रूपसे वृद्धि होत, काहेकि त्वरणके मान नियत हे । कौनो समय t पर वेगके घटक:

$v_{x}=v_{0}\cos \theta$,

$v_{y}=v_{0}\sin \theta -gt$ ।

वेगके परिमाण (बौधायन प्रमेयके अनुसार):

$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\ }}$ ।

त्वरण

चूँकि हियाँ क्षितिज दिशामे कौनो त्वरण नै हे अतः क्षितिज दिशामे वेगके नियत मान vcosθ हे । उर्ध्व दिशामे प्रक्षेप्यके गति गुरुत्वाकर्षणके अधीन स्वतन्त्र कणके गतिके समान हे । हियाँ त्वरण नियत हे आउ एकर मान g हे, ई g पृथिवीके गुरुत्वीय त्वरण हे । (पृथिवीके सतह पर एकर मान ९.८१ मीटर प्रति वर्ग सेकेण्ड होवहे ।):

$a_{x}=0$,

$a_{y}=-g$ ।

विस्थापन

परवलयिक प्रक्षेपमे विस्थापन आउ निर्देशाङ्क

समय t पर प्रक्षेप्यके क्षितिज आउ उर्ध्व विस्थापन :

$x=v_{0}t\cos \theta$,

$y=v_{0}t\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$ ।

अतः विस्थापनके परिमाण:

$\Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}\ }}$ ।

प्रक्षेप्य वक्र

निम्न समीकरणमे

$x=v_{0}t\cos \theta$,

$y=v_{0}t\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$ ।

t के विलोपित करेपर हमनीके निम्न समीकरण प्राप्त होवहे:

${\begin{aligned}y=\tan \theta .x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}.x^{2}=\tan \theta .x\left(1-{\frac {x}{R}}\right),\end{aligned}}$

ई परवलयके समीकरण हे । हियाँ R प्रक्षेप्यके परास हे ।

जन्ने g, α आउ v₀ नियताङ्क हे, ई समीकरण निम्नरूपमे हे

$y=ax+bx^{2}$,

जेकरामे a आउ b नियताङ्क हे । ई एक परवलयके समीकरण हे, अतः प्रक्षेप्यके पथ परवलयिक होत । परवलयके अक्ष उर्ध्व होत ।

प्रक्षेप्य वक्रके गुण

उड्डयन काल

कुल समय t जेकर प्रक्षेप्य वायुमे रहहे ओकरा उड्डयन काल कहल जा हे ।

$y=v_{0}t\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$ ।

उड्डयनके बाद प्रक्षेप्य क्षैतिज अक्ष (x-अक्ष) पर लौटहे, एहीसे y=0

$0=v_{0}t\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$

$v_{0}t\sin \theta ={\frac {1}{2}}gt^{2}$

$v_{0}\sin \theta ={\frac {1}{2}}gt$

$t={\frac {2v_{0}\sin \theta }{g}}$

प्रक्षेप्यके अधिकतमौच्च्य

प्रक्षेप्यके अधिकतमौच्च्य

प्रक्षेप्यके अधिकतमौच्च्य (अधिकतम उच्चता) जेकरा तक वस्तु पहुँचहे के वस्तुके गतिके शिखर कहल जा हे । औच्च्यमे वृद्धि तखनि तक होत जखनि $v_{y}=0$, अर्थात्,

$0=v_{0}\sin \theta -gt_{h}$ ।

अधिकतमौच्च्य तक पहुँचेमे लगल समय:

$t_{h}={v_{0}\sin \theta \over g}$ ।

प्रक्षेप्यके अधिकतमौच्च्य:

$h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}$

$h={v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta \over {2g}}$ ।

अधिकतम पहुँच योग्य औच्च्य θ=90° लागि प्राप्त कैल जा हे:

$h_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}$ ।

यदि प्रक्षेप्यके स्थिति (x, y) आउ प्रक्षेप्य कोण (θ) ज्ञात हे, त अधिकतमौच्च्य निम्न परवलयिक समीकरणमे h लागि हल करेपर पाएल जा सकहे:

$h={(x\tan \theta )^{2} \over 4(x\tan \theta -y)}$

प्रक्षेप्य ऊर्जा

अधिकतमौच्च्य पर:

• गतिज ऊर्जा:${mv_{0}^{2}\cos ^{2}\theta \over 2}$
• स्थितिज ऊर्जा:${mv_{0}^{2}\sin ^{2}\theta \over 2}$
• कुल ऊर्जा = गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा = ${mv_{0}^{2} \over 2}$

प्रक्षेप्यके परास

मुख्य लेख: प्रक्षेप्यके परास

प्रक्षेप्यके परास अर्थात् प्रक्षेप्यके अधिकतम क्षितिज दूरत्व

प्रक्षेप्यके क्षेतिज परास d प्रक्षेप्य द्वारा तय कैल गेल ऊ क्षेतिज दूरी हे जखनि ऊ अपन प्रारम्भिक औच्च्य (y = 0) पर आवहे ।

$0=v_{0}t_{d}\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}$ ।

प्रारम्भिक औच्च्य तक पहुँचमे लगल समय :

$t_{d}={2v_{0}\sin \theta \over g}$ ।

क्षेतिज विस्थापनसे प्रक्षेप्यके अधिकतम दूरत्व:

$d=v_{0}t_{d}\cos \theta$,

अतः (चूँकि 2·sin(α)·cos(α) = sin(2α))

$d={v_{0}^{2}\sin(2\theta ) \over g}$ ।

ध्यान रहे d के मान अधिकतम होत जखनि

$\sin 2\theta =1$,

जे आवश्यक रूपसे सिद्ध करहे कि

$2\theta =90^{\circ }$,

वा

$\theta =45^{\circ }$ ।

क्षैतिज परास आउ अधिकतमौच्च्यके मध्य सम्बन्ध

क्षतिज समतलमे परास (R) आउ अधिकतमौच्च्य (h) मे सम्बन्ध हे:

$h={R\tan \theta \over {4}}$

जखनि h = R

$\theta =\arctan(4)\approx 75.963756532^{\circ }$

कार्य-ऊर्जा प्रमेयके अनुप्रयोग

कार्य-ऊर्जा प्रमेयके अनुसार वेगके ऊर्ध्व घटक :

$v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy$ ।

सन्दर्भ

• Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.,Budapest, Tankönyvkiadó, 1986. ISBN 963 17 8772 9 (हंगेरियन)
• Ifj. Zátonyi Sándor: Fizika 9.,Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2009. ISBN 978-963-19-6082-2 (हंगेरियन)
• Hack Frigyes: Négyjegyű függvénytáblázatok, összefüggések és adatok, Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004. ISBN 963-19-3506-X (हङ्गेरियन)

टिप्पणी: Since the value of g is not specific the body with high velocity over g limit cannot be measured using the concept of the projectile motion.

इहो देखी

• प्रक्षेप्य
• प्राक्षेपिकी
• गतिके समीकरण

बाहरी कड़ी

• Open Source Physics computer model
• A Java simulation of projectile motion, including first-order air resistance