Wp/mag/दीर्घवृत्त

गणितमे दीर्घवृत्त एक ऐसन शाङ्कव होवहे जेकर उत्केन्द्रता इकाईसे कम होवहे । एक अन्य परिभाषाके अनुसार, दीर्घवृत्त ऐसन बिन्दुके बिन्दुपथ हे जिनकर दु निश्चित बिन्दुसे दूरीके योग सदैव अचर रहहे । ईसभ निश्चित बिन्दुके दीर्घवृत्तके नाभी (Focus) कहल जाहे । मानल जाहे कि पृथ्वी सहित ढेर ग्रह सूर्यके चारो दन्ने एक दीर्घवृत्तीय कक्षामे घूमहे आउ ई दीर्घवृत्तके एक नाभि पर सूर्य अवस्थित होवहे ।

ई प्रकार ई एक वृत्तके सामान्यीकृत रूप होवहे । वृत्त एक विशेष प्रकारके दीर्घवृत्त होवहे जेकरामे दुनो नाभी एके स्थान पर होवहे । एक दीर्घवृत्तके आकार एकर उत्केन्द्रतासे दर्शावल जा हे, जेकर मान दीर्घवृत्तला 0 से लेके 1 के मध्य होवहे । यदि केहु दीर्घवृत्तके उत्केन्द्रता 0 होवे त ऊ दीर्घवृत्त एक वृत्त होवहे ।

कार्तीय निर्देशाङ्क पद्धतिमे दीर्घवृत्त

समीकरण:

दीर्घवृत्तके केन्द्र मूलबिन्दु, मुख्याक्ष x-अक्ष, एवं नाभी ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)}$ आउ शीर्ष ${\displaystyle V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)}.$

तखनि दीर्घवृत्त पर कौनो बिन्दु (x,y) लागि दीर्घवृत्तके समीकरण

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

या ${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}.}$

एहाँ ${\displaystyle a,\;b}$ क्रमशः अर्द्ध दीर्घाक्ष आउ अर्द्ध लघ्वाक्ष कहला हे ।

दीर्घवृत्तके उत्केन्द्रताला सूत्र:

${\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}},$

एहाँ $e$ उत्केन्द्रता हे ।

ज्यामितीय विशेषता

दीर्घवृत्तके दु अक्षमे से बड़के प्रधान अक्ष कह सकही । दुनो नाभि प्रधान अक्ष पर अवस्थित होवहे आउ दीर्घवृत्त पर स्थित कौनो बिन्दुके ई दुनो नाभीसे दूरीके योग ई प्रधान अक्षके लम्बाईके बराबर मने हमेशा नियत होवहे ।

दीर्घवृत्तके क्षेत्रफल

दीर्घवृत्तके क्षेत्रफल ई सूत्र द्वारा निकालल जा सकहे - $A=\pi ab.$

एहाँ a आउ b दीर्घवृत्तके दु अक्षके आधा हे । यदि दीर्घवृत्तके समीकरण ई रूपमे होवे $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+1=0$ ,

त एकर क्षेत्रफल होत: ${\frac {2\pi }{\sqrt {B^{2}-4AC}}}$ ।

परिधि

एकर गणना जटिल होवहे आउ एकर कौनो सरल एवं सटीक सूत्र नै हे । हालाँकि भारतीय गणितज्ञ रामानुजन् द्वारा सुझावल गेल ई सूत्रके सरलतम एवं सटीकतम मानल जा सकहे:

$C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi (3(a+b)-{\sqrt {10ab+3(a^{2}+b^{2})}})$

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