Wp/mag/गुणनखण्ड

कौनो वस्तु (जैसे - सङ्ख्या, बहुपद या मेट्रिक्स) के अन्य वस्तुके गुणनफल (product) के रूपमे तोड़ेके क्रियाके गणितमे गुणनखण्ड कहल जाहे । कौनो वस्तुके गुणनखण्डके परस्पर गुणा करेपर ऊ मूल वस्तु पुनः प्राप्त हो जाहे ।

उदाहरण लागि -

१५ = ३ x ५ एवं,

x² − 4 = (x − 2) (x + 2) ।

P (x) = x^{5} - x^{3} + 69 x^{2} - 20 x + 16 =

(x^{3} + 4 x^{2} - x + 1) (x^{2} - 4 x + 16)

गुणनखण्डके विपरीत क्रियाके विस्तार (expansion) कहल जाहे जेकरामें गुणखण्डका आपसमे गुणा करके मूल सङ्ख्या या मूल बहुपद प्राप्त कैल जाहे ।

गुणखण्डनके उद्देश्य एवं प्रयोग

कौनो बड़ या जटिल वस्तुके सरल अवयवमे तोड़ल गुणनखण्ड करेके मुख्य उद्देश्य हे। जैसेकि सङ्ख्याके गुणनखण्डन करेसे अविभाज्य सङ्ख्या प्राप्त होवहे; बहुपदके गुणनखण्ड करेसे ऐसन पद प्राप्त होवहे जिनखर पुनः गुणनखण्ड नै कैल जा सके ।

गुणनखण्डके प्रयोग सङ्ख्या या व्यञ्जक (expressions) के वर्गमूल, घनमूल आदि निकाले, उनखर लघुत्तम समापवर्त्य आउ महत्तम समापवर्तक निकाले आदिमे होवहे ।

उभयनिष्ट गुणकके पहचान

जखनि कौनो सङ्ख्या या बीजीय वर्ण कौनो योगके कमसे कम दु पदमे विद्यमान होवे त ईसभ पदके निम्नलिखित प्रकारसे एक गुणनफलके रूपमे व्यक्त कैल जा सकहे जे गुणनके योगके उपर वितरण (distributivity of multiplication over the addition) पर निर्भर करहे -

a b + a c = a (b + c)

गुणखण्डके मुख्य प्रकार

स्पष्ट गुणखण्ड

a x + b x + c x = x . (a + b + c)

समूह बनाकर गुणनखण्ड

a x + a y + b x + b y = (a x + a y) + (b x + b y) = a . (x + y) + b . (x + y) = (a + b) . (x + y)

पूर्ण वर्ग त्रिपद

a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}

वर्गान्तर

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

द्विघत त्रिपदी व्यञ्जक

x^{2} + (a + b) . x + (a . b) = (x + a) . (x + b)

दु वर्गके योग (ई वास्तविक सङ्ख्या वाला गुणनखण्डमे नै तोड़ल जा सकत किन्तु समिश्र सङ्ख्या वाला गुणनखण्डमे तोड़ल जा सकहे

a^{2} + b^{2} = (a + i . b) (a - i . b)

सोफी-जर्मेन सर्वसमिक (Sophie-Germain Identity)

a^{4} + 4 b^{4} = a^{4} + 4 a^{2} b^{2} + 4 b^{4} - (2 a b)^{2} = {(a^{2} + 2 b^{2})}^{2} - (2 a b)^{2} = (a^{2} + 2 b^{2} + 2 a b) \cdot (a^{2} + 2 b^{2} - 2 a b)

दु घनके योग

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

दु घनके अन्तर

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

समान घातके अन्तर

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})

a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} b^{(n - 1) - k}

समान घातके योग (n विषम सङ्ख्या)

a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} - \dots - a b^{n - 2} + b^{n - 1})

उपर्युक्त सूत्रके कुछ विशिष्ट अवस्था

a^{5} + b^{5} = (a + b) (a^{4} - a^{3} b + a^{2} b^{2} - a b^{3} + b^{4}),

a^{5} - b^{5} = (a - b) (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4}) .

a^{6} + b^{6} = (a^{2} + b^{2}) (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}),

a^{6} - b^{6} = (a^{3} + b^{3}) (a^{3} - b^{3}) = (a + b) (a - b) (a^{2} - a b + b^{2}) (a^{2} + a b + b^{2}) .

a^{7} + b^{7} = (a + b) (a^{6} - a^{5} b + a^{4} b^{2} - a^{3} b^{3} + a^{2} b^{4} - a b^{5} + b^{6}),

a^{7} - b^{7} = (a - b) (a^{6} + a^{5} b + a^{4} b^{2} + a^{3} b^{3} + a^{2} b^{4} + a b^{5} + b^{6}) .

2^{n} - 1 = 2^{n} - 1^{n} = (2 - 1) \times (\sum_{k = 0}^{n - 1} 2^{k} \times 1^{(n - 1) - k}) = \sum_{k = 0}^{n - 1} 2^{k}

a^{n} - 1 = a^{n} - 1^{n} = (a - 1) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} \times 1^{(n - 1) - k} = (a - 1) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k}

गुणनखण्डके अन्य सूत्र

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + y z + x z) & = (x + y + z)^{2} \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z & = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - x z - y z) \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} + 3 x^{2} (y + z) + 3 y^{2} (x + z) + 3 z^{2} (x + y) + 6 x y z & = (x + y + z)^{3} \\ x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} & = (x^{2} + x y + y^{2}) (x^{2} - x y + y^{2}) . \end{matrix}

उल्लेखनीय सर्वसमिका

मुख्य लेख: उल्लेखनीय सर्वसमिका

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बाहरी कड़ी

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