कौनो वस्तु (जैसे - सङ्ख्या , बहुपद या मेट्रिक्स ) के अन्य वस्तुके गुणनफल (product) के रूपमे तोड़ेके क्रियाके गणित मे गुणनखण्ड कहल जाहे । कौनो वस्तुके गुणनखण्डके परस्पर गुणा करेपर ऊ मूल वस्तु पुनः प्राप्त हो जाहे ।
उदाहरण लागि -
१५ = ३ x ५ एवं, x 2 − 4 = (x − 2) (x + 2) ।
P
(
x
)
=
x
5
−
x
3
+
69
x
2
−
20
x
+
16
=
{\displaystyle P(x)=x^{5}-x^{3}+69x^{2}-20x+16=}
(
x
3
+
4
x
2
−
x
+
1
)
(
x
2
−
4
x
+
16
)
{\displaystyle (x^{3}+4x^{2}-x+1)(x^{2}-4x+16)}
गुणनखण्डके विपरीत क्रियाके विस्तार (expansion) कहल जाहे जेकरामें गुणखण्डका आपसमे गुणा करके मूल सङ्ख्या या मूल बहुपद प्राप्त कैल जाहे ।
कौनो बड़ या जटिल वस्तुके सरल अवयवमे तोड़ल गुणनखण्ड करेके मुख्य उद्देश्य हे। जैसेकि सङ्ख्याके गुणनखण्डन करेसे अविभाज्य सङ्ख्या प्राप्त होवहे; बहुपद के गुणनखण्ड करेसे ऐसन पद प्राप्त होवहे जिनखर पुनः गुणनखण्ड नै कैल जा सके ।
गुणनखण्डके प्रयोग सङ्ख्या या व्यञ्जक (expressions) के वर्गमूल, घनमूल आदि निकाले, उनखर लघुत्तम समापवर्त्य आउ महत्तम समापवर्तक निकाले आदिमे होवहे ।
जखनि कौनो सङ्ख्या या बीजीय वर्ण कौनो योगके कमसे कम दु पदमे विद्यमान होवे त ईसभ पदके निम्नलिखित प्रकारसे एक गुणनफलके रूपमे व्यक्त कैल जा सकहे जे गुणनके योगके उपर वितरण (distributivity of multiplication over the addition) पर निर्भर करहे -
a
b
+
a
c
=
a
(
b
+
c
)
{\displaystyle ab+ac=a(b+c)}
a
x
+
b
x
+
c
x
=
x
.
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle ax+bx+cx=x.(a+b+c)}
a
x
+
a
y
+
b
x
+
b
y
=
(
a
x
+
a
y
)
+
(
b
x
+
b
y
)
=
a
.
(
x
+
y
)
+
b
.
(
x
+
y
)
=
(
a
+
b
)
.
(
x
+
y
)
{\displaystyle ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a.(x+y)+b.(x+y)=(a+b).(x+y)}
a
2
+
2
a
b
+
b
2
=
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}}
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
x
2
+
(
a
+
b
)
.
x
+
(
a
.
b
)
=
(
x
+
a
)
.
(
x
+
b
)
{\displaystyle x^{2}+(a+b).x+(a.b)=(x+a).(x+b)}
दु वर्गके योग (ई वास्तविक सङ्ख्या वाला गुणनखण्डमे नै तोड़ल जा सकत किन्तु समिश्र सङ्ख्या वाला गुणनखण्डमे तोड़ल जा सकहे
a
2
+
b
2
=
(
a
+
i
.
b
)
(
a
−
i
.
b
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+i.b)(a-i.b)}
सोफी-जर्मेन सर्वसमिक (Sophie-Germain Identity)
a
4
+
4
b
4
=
a
4
+
4
a
2
b
2
+
4
b
4
−
(
2
a
b
)
2
=
(
a
2
+
2
b
2
)
2
−
(
2
a
b
)
2
=
(
a
2
+
2
b
2
+
2
a
b
)
⋅
(
a
2
+
2
b
2
−
2
a
b
)
{\displaystyle a^{4}+4b^{4}=a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}-(2ab)^{2}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}-(2ab)^{2}=\left(a^{2}+2b^{2}+2ab\right)\cdot \left(a^{2}+2b^{2}-2ab\right)}
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
+
…
+
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1}\right)}
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
b
(
n
−
1
)
−
k
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{(n-1)-k}}
समान घातके योग (n विषम सङ्ख्या)
a
n
+
b
n
=
(
a
+
b
)
(
a
n
−
1
−
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
−
…
−
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\ldots -ab^{n-2}+b^{n-1}\right)}
उपर्युक्त सूत्रके कुछ विशिष्ट अवस्था
a
5
+
b
5
=
(
a
+
b
)
(
a
4
−
a
3
b
+
a
2
b
2
−
a
b
3
+
b
4
)
,
{\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}),\,\!}
a
5
−
b
5
=
(
a
−
b
)
(
a
4
+
a
3
b
+
a
2
b
2
+
a
b
3
+
b
4
)
.
{\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}).\,\!}
a
6
+
b
6
=
(
a
2
+
b
2
)
(
a
4
−
a
2
b
2
+
b
4
)
,
{\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),\,\!}
a
6
−
b
6
=
(
a
3
+
b
3
)
(
a
3
−
b
3
)
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
.
{\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})=(a+b)(a-b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}).\,\!}
a
7
+
b
7
=
(
a
+
b
)
(
a
6
−
a
5
b
+
a
4
b
2
−
a
3
b
3
+
a
2
b
4
−
a
b
5
+
b
6
)
,
{\displaystyle a^{7}+b^{7}=(a+b)(a^{6}-a^{5}b+a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6}),\,\!}
a
7
−
b
7
=
(
a
−
b
)
(
a
6
+
a
5
b
+
a
4
b
2
+
a
3
b
3
+
a
2
b
4
+
a
b
5
+
b
6
)
.
{\displaystyle a^{7}-b^{7}=(a-b)(a^{6}+a^{5}b+a^{4}b^{2}+a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}+ab^{5}+b^{6}).\,\!}
2
n
−
1
=
2
n
−
1
n
=
(
2
−
1
)
×
(
∑
k
=
0
n
−
1
2
k
×
1
(
n
−
1
)
−
k
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
2
k
{\displaystyle 2^{n}-1=2^{n}-1^{n}=(2-1)\times \left(\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}\times 1^{(n-1)-k}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}}
a
n
−
1
=
a
n
−
1
n
=
(
a
−
1
)
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
×
1
(
n
−
1
)
−
k
=
(
a
−
1
)
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
{\displaystyle a^{n}-1=a^{n}-1^{n}=(a-1)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\times 1^{(n-1)-k}=(a-1)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}}
x
2
+
y
2
+
z
2
+
2
(
x
y
+
y
z
+
x
z
)
=
(
x
+
y
+
z
)
2
x
3
+
y
3
+
z
3
−
3
x
y
z
=
(
x
+
y
+
z
)
(
x
2
+
y
2
+
z
2
−
x
y
−
x
z
−
y
z
)
x
3
+
y
3
+
z
3
+
3
x
2
(
y
+
z
)
+
3
y
2
(
x
+
z
)
+
3
z
2
(
x
+
y
)
+
6
x
y
z
=
(
x
+
y
+
z
)
3
x
4
+
x
2
y
2
+
y
4
=
(
x
2
+
x
y
+
y
2
)
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)\,&=(x+y+z)^{2}\\x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz\,&=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz\,&=(x+y+z)^{3}\\x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}\,&=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end{aligned}}}
