Wp/isv/Geometrija

Geometrija (iz davnogreč.: γεωμετρία geometria — «měrenije zemje», iz gē — «zemja» i metron — «měra»)^[1] jest oblast matematiky, ktora se zajmaje svojstvami prostora, kako distancija, forma, věličina i vzajemna pozicija figur. Ona jest, zajedno s aritmetikoju, jedna iz najstarših oblastij matematiky.^[2] Matematik, ktory rabotaje v oblasti geometrije, jest nazvany geometrom. Do 19-ogo věka geometrija byla bez malogo ekskluzivno posvečena evklidovoj geometrije, ktora vklučaje pojetja točky, linije, ploskosti, razstojanja, ugla, površiny i krivoj kako fundamentalne koncepcije. Geometrija imaje priměnenija v bez malogo vseh naukah, i takože v umětnostah, arhitekturě i inoj dějateljnosti, ktora jest svezana s grafikami.^[3]

Etimologija

Slovo «geometrija» proizihodi iz grěčskogo γεωμετρία (geometria), složenogo iz dvoh korenjev: gē («zemja») i metron («měra»). Početkovo to slovo označalo praktično měrenije zemje i pozěmkov. V latinskom jezyku slovo bylo izkoristano kako geometria i v toj formě vošlo v mnoge moderne jezyki.^[4]

Oblasti geometrije

Geometrija razděljaje se na nekoliko glavnyh oblastij:

Evklidova geometrija

Evklidova geometrija jest sistema geometrije, opisana grěčskim matematikom Evklidom okolo 300-go lěta pr. n. e. v jegovom dělu Elementy.^[5] Ona jest najstarša i najznajemějša forma geometrije i opiraje se na oprěděljenne aksiomy i postulaty za točky, linije i ploskosty. Elementy Evklida sut sčitane za jedin iz najvyše i vlivnyh učebnikov vseh časov. Evklidova geometrija vključaje pojetja točky, linije, ugla, ploskosti, povrhnosti, distancije i krivoj.

Analitična geometrija

Analitična geometrija, takože nazyvana koordinatna geometrija, jest oblast geometrije, ktora izsleduje geometrične figury s pomočju sistemov koordinat i algebraičnyh metodov. Na početky 17-go věka francuzske matematiky Rene Dekart i Pjer de Ferma sut nezavisno od sebe razvili osnovy analitičnoj geometrije.^[6] Tutoj pristup byl neobhodimym prědhodnikom razvoja matematičnoj analizy i točnoj kvantitativnoj nauky o prirodě (fiziky).

Diferencialna geometrija

Diferencialna geometrija jest oblast geometrije, ktora izsleduje krive, povrhnosti i mnogo-měrne prostory s pomočju metodov matematičnoj analizy i linearnoj algebry. V 19-om věku němečsky matematik Karl Fridrih Gauss jest dokazal svoju teoremu "Theorema Egregium" («značnu teoremu»), ktora tvrdi, že krivost povrhnosti jest nezavisna od jej konkretnoj realizacije v evklidovom prostoru.^[7] Tuto označaje, že povrhnosti mogut byti izsledovane vnutri samyh povrhnostij, to jest, kako samostojne prostory.

Algebraična geometrija

Algebraična geometrija jest oblast geometrije, ktora izsleduje geometrične objekty, opisane algebraičnymi ravnostjami, osoblivo polinomami. Ona kombinuje metody abstraktnoj algebry, osoblivo teorije koljec i polej, s geometrijeju.^[8] Metody algebraičnoj geometrije sut fundamentalne v dokazu velikoj teoremy Ferma Endrju Vajlsem.

Topologična geometrija

Topologija jest oblast matematiky, ktora izsleduje svojstva prostora, ktore sut zahovane pri kontinualnyh deformacijah, kako razteganje i kontrakcija, no ne rězanje ili sklejanje. V geometriji topologičny pristup izsleduje povrhnosti i mnogoměrne prostory bez ukazanja na razstojanja ili ugly.^[9]

Projektivna geometrija

Projektivna geometrija jest oblast geometrije, ktora izsleduje vlastnosti geometričnyh figur, ktore sut neizměnne pri projektivnyh transformacijah. Ona razmatrjaje toliko ravnorednost toček, no ne distanciju ili parallelizm. Sistematično izsledovanje projektivnoj geometrije bylo početo francuzskim matematikom Žerarom Dezargom (1591–1661).^[10]

Neevklidova geometrija

Neevklidova geometrija jest obče nazvanje za geometrije, ktore se odličajut od evklidovoj geometrije tym, že ne koristsajut postulat o paralelnyh linijah. V 19-om věku ruski matematik Nikolaj Ivanovič Lobačevsky (1792–1856), madjarsky matematik Janoš Boljai (1802–1860) i němečsky matematik Karl Fridrih Gauss (1777–1855) sut nezavisno odkryli, že geometrije bez postulata o paralelnyh linijah mogut byti razvite bez vvedenja kakogo-libo protivrěčja.^[11] Geometrija, na ktoru se opiraje obča teorija odnositeljnosti, jest znamenity primer priměnjenija neevklidovoj geometrije.

Historija

Drěvny period

Najstarše znane početky geometrije mogut byti slědžene do drěvnyh Mesopotamije i Egipta v 2-om tysečlětju pr. n. e.^[12] Ranna geometrija byla kolekcijeju empirično odkrytyh principov, priměnjajemym k dolžinam, uglam, površinam i objemam, ktore sut se razvili za zadovoljenje praktičnyh potrěb v izmerjanju zemje, budovanju, astronomiji i raznyh ručnyh dělateljnostah. Najstarše znane teksty o geometrije sut egiptsky Papirus Rinda (2000–1800 pr. n. e.) i Moskovsky papirus (okolo 1890 pr. n .e.), i babilonske gliněne tabely, kako Plimpton 322 (1900 pr. n. e.).

V 7-om věku pr. n. e. grěčsky filozof i matematik Tales iz Mileta koristal geometriju za razrěšenje problemov, kako izčisljenje vyšiny piramid i oddaljenja korabov od pribrěžja. Jemu jest pripisano prvo izkoristanje deduktivnogo myslenja v geometriji.^[13] Pitagor jest osnoval Pitagorovu školu, ktoroj pripisyvajut prvo dokazanje teoremy Pitagora. Evdoks iz Knida (408–okolo 355 pr. n. e.) jest razvil metod izčerpanja, ktory pozvolil iyčisljenje površin i objemov krivolinearnyh figur.

Okolo 300-go lěta pr. n. e. geometrija byla revolucionovana Evklidom, kojego Elementy, mněvajemy za najuspěšnějši i najvlivnějši učebnik vseh vrěmen, vvedli matematičnu riguru s pomočju aksiomatičnogo metoda.^[14]

Arhimed (okolo 287–212 pr. n. e.) iz Sirakuzy koristil metod izčerpanja za izčisljenje površiny pod dugoju paraboly i jest dal udiviteljno točne přibliženja čisla pi. On takože izsledoval spiralu, noseču jego ime, i dobyl formuly za obemy těl obraščenija.

Arabsky i islamsky period

V srědnjevěčju matematika islamskogo světa dala prinosy k razvoju geometrije, osoblivo algebraičnoj geometrije.^[15] Al-Mahani (rodžen 853) zadumal ideju redukovanija geometričnyh problemov, kako udvajanje kuba, do problemov algebry. Sabit ibn Kurra (836–901) zajemal se aritmetičnymi operacijami na odnošenjah geometričnyh množstv. Omar Hajam (1048–1131) nahodil geometrična rěšenja kubičnyh ravnostij.

Evropejsky period

Na početky 17-go stolětja sut voznilki dva važnyh razvoja v geometriji. Prvym bylo stvorjenje analytičnoj geometrije Reně Dekartom (1596–1650) i Pjerom de Ferma (1601–1665).^[16] Vtorym razvojem geometrije tutogo perioda bylo sistematično izsledovanje projektivnoj geometrije Žerarom Dezargom (1591–1661).

Dva razvoja v geometriji 19-ogo věka sut izměnili podobu, kako ona byla izsledovana do togo.^[17] Prvym bylo odkrytije neevklidovyh geometrij Nikolajem Ivanovičem Lobačevskym, Janošom Boljajem i Karlom Fridrihom Gaussom. Vtorym bylo formulovanije simetrije kako centralnoj koncepcije v erlangenskom programu Feliksa Kljajna.

Moderna geometrija

Počinajuči koncom 19-go stolětja, oblast geometrije veliko razširila se i razděljaje se na mnoge podoblasti: diferencialna geometrija, algebraična geometrija, kompjuterna geometrija, algebraična topologija, diskretna geometrija i dr. V 20-om věku David Gilbert (1862–1943) použil aksiomatično myslenije v pokušenju zadavati modernu osnovu geometriji.

Klučeve koncepcije

Točky, linije i ploskosty

Točky sut obyčno sčitane za fundamentalne objekty za strojenje geometrije. One mogut byti oprěděljene svojstvami, ktore one morajut imati, kako v oprěděljenju Evklida ili v sintetičnoj geometriji «to, čto ne imaje čestij».^[18] Linija jest oprěděljena Evklidom jako «dolžina bez širiny». V evklidovoj geometriji ploskost jest ravna, dvuměrna povrhnost, ktora prostiraje se se bezkonečno.

Krive i povrhnosti

Kriva jest jednorazměrny objekt, ktory može byti premy (kako linija) ili ne. Krive v dvuměrnom prostoru sut nazyvane ploskostnymi krivymi, a tě v triměrnom prostoru — prostornymi krivymi. Povrhnost jest dvurazměrny objekt, kako sfěra ili paraboloid.

Ugly, dolžiny i obemy

Ugol jest forma, tvorjena dvoma polupremymi linijami, nazvanymi stranami ugla, ktore imajut obču krajnu točku, nazyvanu vršinoju ugla. Izsledovanje uglov trikutnika ili uglov v jediničnom krugu tvori osnovu trigonometrije. Dolžina, površina i obem opisyvajut věličinu objekta v jednom, dvoh i treh izměrjenjach, respektivno.

Raznorodnosti

Raznorodnost jest obobčenjem koncepcij krivoj i povrhnosti. V topologiji raznorodnost jest topologičny prostor, kde každa točka imaje okolinu, ktora jest homeomorfna evklidovomu prostoru. Raznorodnosti sut široko koristane v fizikě, vklučno obcu teoriju odnositeljnosti i teoriju strun.

Priměnenije

Matematika

Geometrične metody sut použivane v mnogyh inych oblastah matematiky, kako algebra, topologija, teorija čisel i matematična analiza. Linearna algebra jest blizko svezana s geometrijeju, zatože vektorne prostory imajut geometričnu interpretaciju.

Nauka i tehnika

Geometrične metody sut takože obiyno koristajut v fizikě, inženeriji i informatikě. V fizikě geometrija jest použivana za opisanje prostora i časa v obcej teoriji odnositeljnosti. V inženeriji i kompjuternoj grafikě geometrija jest osnova za dizajn i modelovanije.

Umětnost i arhitektura

Geometrija imaje dolgu historiju priměnenja v umětnostah i arhitektuře. Geometrične formy i principy sut koristane v dizajnu budov, skulptur i obrazov. Perspektiva v vizualnyh umětnostah jest priměnenijem principov projektivnoj geometrije.

Obrazovanje

Vyučenije geometrije jest fundamentalna čest srědnjego matematičnogo obrazovanja. Geometrija pomagaje razviti logično i prostorno myslenije u učenikov. Evklidova geometrija jest osblivo izkoristana kako uvod v deduktivnu matematiku i dokazatelstvo teorem.

Gledite takože

Iztočniky

↑ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
↑ Tabak, John (2014). Geometry: The Language of Space and Form. Facts on File. ISBN 978-0-8160-4953-0.
↑ Meyer, Bertrand (2009). Touch of Class. Springer. ISBN 978-3-540-92144-5 Check |isbn= value: checksum (pomoč).
↑ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
↑ Euclid (2002). Elements. Green Lion Press. ISBN 978-1-888009-19-4.
↑ Boyer, Carl B. (2004). History of Analytic Geometry. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43832-0.
↑ Gauss, Carl Friedrich (1965). General Investigations of Curved Surfaces. Raven Press.
↑ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9.
↑ Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9.
↑ Field, J. V.; Gray, J. J. (1987). The Geometrical Work of Girard Desargues. Springer. ISBN 978-0-387-96403-4.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Yaglom, Isaak Moiseevich (1979). A Simple Non-Euclidean Geometry and Its Physical Basis. Springer. ISBN 978-0-387-90332-3.
↑ Robins, Gay; Shute, Charles (1987). The Rhind Mathematical Papyrus. British Museum Press. ISBN 978-0-7141-0944-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
↑ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
↑ Berggren, J. L. (1986). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. Springer. ISBN 978-0-387-96318-1.
↑ Boyer, Carl B. (2004). History of Analytic Geometry. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43832-0.
↑ Gray, Jeremy (2011). Worlds Out of Nothing. Springer. ISBN 978-0-85729-059-5.
↑ Euclid (2002). Elements. Green Lion Press. ISBN 978-1-888009-19-4.

[1] Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.

[2] Tabak, John (2014). Geometry: The Language of Space and Form. Facts on File. ISBN 978-0-8160-4953-0.

[3] Meyer, Bertrand (2009). Touch of Class. Springer. ISBN 978-3-540-92144-5 Check |isbn= value: checksum (pomoč).

[4] Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.

[5] Euclid (2002). Elements. Green Lion Press. ISBN 978-1-888009-19-4.

[6] Boyer, Carl B. (2004). History of Analytic Geometry. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43832-0.

[7] Gauss, Carl Friedrich (1965). General Investigations of Curved Surfaces. Raven Press.

[8] Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9.

[9] Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9.

[10] Field, J. V.; Gray, J. J. (1987). The Geometrical Work of Girard Desargues. Springer. ISBN 978-0-387-96403-4.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[11] Yaglom, Isaak Moiseevich (1979). A Simple Non-Euclidean Geometry and Its Physical Basis. Springer. ISBN 978-0-387-90332-3.

[12] Robins, Gay; Shute, Charles (1987). The Rhind Mathematical Papyrus. British Museum Press. ISBN 978-0-7141-0944-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[13] Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.

[14] Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.

[15] Berggren, J. L. (1986). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. Springer. ISBN 978-0-387-96318-1.

[16] Boyer, Carl B. (2004). History of Analytic Geometry. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43832-0.

[17] Gray, Jeremy (2011). Worlds Out of Nothing. Springer. ISBN 978-0-85729-059-5.

[18] Euclid (2002). Elements. Green Lion Press. ISBN 978-1-888009-19-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]