Wp/isv/Algebra

Algebra (od arab.: اَلْجَبْرُ al-džabr^[1] — «rekreacija (razroznennyh) čestij») jest oblast matematiky, ktora se zajmaje algebraičnymi strukturami i operacijami na njih. Ona jest geněralizacijeju aritmetiky, ktora vvodi prěměnne i algebraične operacije, odlične od standartnyh aritmetičnyh operacij, takyh kako složenje i množenje. Algebra jest jedna z najstarših i najvažnějših oblastij matematiky, i ona imaje široko priměnjenje v naukě, tehnikě, ekonomikě i v mnogyh inyh sferah.

Etimologija

Slovo "algebra" proizhodi iz arabskogo termina الجبر (al-džabr), ktory prvonačelno označal hirurgično lěčenje prělomov kostij. V 9-om stolětju termin dostal matematične značenja, kogda Muhammad ibn Musa al-Horezmi izkoristal jego v nazvanju svojego traktata al-Kitab al-Muhtasar fi Hisab al-Džabr val-Mukabala (Kratkaja kniga o kalkulacijah metodom dopolnjenja i protivostavjenja), ktora jest preložena na latinsky jezyk kak Liber Algebrae et Almucabola .^[2] Slovo vošlo v sučasne jezyky v 16-om věku iz italijanskogo, španskogo i srědněvěčnogo latinskogo jezyka, i takože koristaje se v medžuslovjanskom.

Oblasti algebry

Algebra razděljaje se na několiko glavnyh oblastij:

Elementarna algebra

Elementarna algebra, takože nazvana školska algebra ili klasična algebra, jest najstarša i osnovna forma algebry. Ona jest geněralizacijeju aritmetiky, ktore se opiraje na prěměnne i izslěduje, kak matematične izraženja mogut byti transformovane.^[3]

Aritmetika jest naukoju o numeričnyh operacijah i izslěduje, kako čisla sut kombinovane i transformovane s pomočju aritmetičnyh operacij složenja, odimanja, množenja, dělenja, stupnjevanja, ekstrakcije korenja i logaritmov. Elementarna algebra se opiraje na jednake operacije, no dopuščaje prěměnne, zastupajuče regularne čisla. Prěměnne sut simboly za nenaznačene ili neznane količiny. One davajut možlivost izraziti odnošenja, dlja kojih ne znajemo točnyh vrědnostij, i izraziti obče zakony, ktore sut pravdivosti nezaležno od togo, koje čisla sut porabotane.

Algebraične korenja sut tvorjene, surabotaječe aritmetične operacije dlja kombinovanija prěměnnyh i čisel. Korenj jest algebraičny korenj, tvoreny množenijem čisla 5 s prěměnnoju x i dodanjem čisla 3 k rezultatu. Někotore algebraične korenja imajut formu korenjev, ktore odnošajut dva korenja odin do drugogo. Ravnost jest korenj, formovany sravnenijem dvoh korenjev, govoreci, čto oni sut ravny. Razrěšenije ravnostij jest klučevy celj elementarnoj algebry.

Linearna algebra

Linearna algebra jest blizko rodstvena oblast, ktora izslěduje linearne ravnosti i jihne kombinacije, nazvane sistemami linearnyh ravnostij. Ona davaje metody dlja nahodženija značenij, ktore razrěšajut vse ravnosti sistemy odnočasno, i dlja izslědovanja množstva tutyh rěšenij.

Linearna algebra začinaje s izslědovanjem sistem linearnyh ravnostij. Ravnost jest linearna, ako ona može byti izražena v formě a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b, gde a₁, a₂, ..., aₙ i b sut konstanty. Sistema linearnyh ravnostij jest množstvo linearnyh ravnostij, za ktoryh sut iskane obče rěšenija.

Matricy sut pravougolne masivy veličin, ktore byli izhodno uvedene za to, da by iměti kompaktnu i sintetičnu notaciju za sistemy linearnyh ravnostij. Vektorne prostory i linearne transformacije tvoret veliku čest liněarnoj algebry. Vektorno prostranstvo jest algebraična struktura, formovana množstvom so složenijem, ktore dela jego abelijevoju grupoju, i skalarnym množenjem, ktore jest suměstimym so složenijem.

Abstraktna algebra

Abstraktna algebra, takože nazyvana moderna algebra, jest nauka ob algebraičnyh strukturah. Algebraična struktura jest sistema dlja razuměnija operacij na matematičnyh objektah, kako i složenje čisel. Ako elementarna algebra i linearna algebra rabotajut v granicah oprědělennyh algebraičnyh struktur, abstraktna algebra prijimaje občy pristup, ktory sravnivaje, kako algebraične struktury se različajut jedna od drugoj, i ktore tipy algebraičnyh struktur egzistujut, kako grupy, koljca i polja.^[4]

Ključna razlika meždu tamtymi tipami algebraičnyh struktur leži v čislu operacij, ktoro oni koristajut, i v zakonah, ktoryh one se držet. Na formalnom urovnju, algebraična struktura jest množstvo matematičnyh objektov, nazyvano podkladnym množstvom, zajedno s jednoju ili vyše operacijami.

Abstraktna algebra klasifikuje algebraične struktury na osnově zakonov ili aksiom, ktoryh se drži operacije s njimi. Jedin iz najosnovněših tipov jest grupa, ktora imaje jednu operaciju i potrěbuje, da by ta operacija byla asociativna i iměla identičny element i obratne elementy.

Koljce jest algebraična struktura s dvoma operacijami, ktore rabotajut podobno složenju i množenju čisel. Polje jest komutativno koljco, v ktorom každy nulovy element imaje multiplikativno obratno čislo.

Universalna algebra

Universalna algebra jest nauka o algebraičnyh strukturah voobče. Kako čest svojego občego podhoda, ona ne zajimaje se specifičnymi elementami, ktore tvoret podkladne množstva, i razsmatrjaje operacije s vyše, než dvoma vvodnymi, napriměr, trojne operacije. Ona davaje ramky dlja izslědovanja, koje strukturne črty imajut razne algebraične struktury voobče.

Teorija kategorij

Teorija kategorij izslěduje, kako matematične objekty odnoset se jedin do drugogo s pomočju koncepcije kategorij. Kategorija jest kolekcija objektov zajedno s kolekcijeju morfizmov ili «strěl» medžu tymi objektami. Tute dvě kolekcije muset zadovoljati oprěděljenym uslovjam. Kategorije sut široko koristane v sovrěmennoj matematikě, poneže oni dajut unifikujuču sistemu za opisanja i analizy mnogyh fundamentalnyh matematičnyh koncepcij.

Historija

Rukopis traktata al-Horezmi *al-Kitab al-Muhtasar fi Hisab al-Džabr val-Mukabala*, 9-y věk.

Drěvny period

Pohodženije algebry leži v pokušenjach razrěšiti matematične problemy s použivanjem aritmetičnyh izčisljenij i pri neznanyh kolikostah. Tute razvoje sut se odbyli v drěvnom periodu v Vavilonu, Egiptu, Greciji, Kitaju i Indiji. Jedin iz najstarših dokumentov o algebraičnyh problemah jest Matematičny papirus Rinda iz drěvnogo Egipta, ktory byl napisan okolo 1650 prěd n.e.^[5] On diskutuje rěšenja linearnyh ravnostij.

Vavilonske gliněne tabely od okolo togo časa objasnjajut metody dlja razrěšenja linearnyh i kvadratnyh polinomialnyh ravnostij, napriklad metodu dopolnjenija kvadrata. Mnogo tyh poznanij jest našlo put do drěvnyh Grěkov. Počinajuči 6-m stolětjem prěd n.e., jejih glavnym interesom byla geometrija, ale oni surt koristali algebraične metody dlja razrěšenja geometričnyh zagadok.

V 3-em věky n.e. Diofant jet dal podrobno razsmatrjanije o tom, kak razrěšiti algebraične ravnosti v seriji knig, nazvanyh Aritmetika. On byl prvym, kto eksperimentoval so simboličnoj notacijeju za izraženje polinomov.^[6]

V drěvnom Kitaju kniga Devět glav matematičnoj umětnostij, složena v periody od 10-go věka prěd n.e. do 2-go věka n.e., jest izsledovala razne tehniky dlja razrěšenja algebraičnyh ravnostij, vklučajuči izkoristanje matrice-podobnyh konstruktov.

Arabsky i islamsky period

Persijsky matematik Muhamad ibn Musa al-Horezmi, ktory žil na teritoriju modernogo Uzbekistana, opublikoval svoju Kratku knigu o izčisljenjah metodoju dopolnjenija i protivostavjenija v 825-om lětu n. e. Ona prědstavjala prvo podrobno razsmatrjanije občih metod, ktore možno je izkoristati za manipulaciju s linearnymi i kvadratnymi ravnostemi: «redukcijeju» i «balansovanijem» oboh stran. Ine vlivne prinosy k algebrě prišli od arabskogo matematika Sabita ibn Kurry takože v 9-om věku, i od persijskogo matematika Omara Hajama v 11-om i 12-om věkah.^[7]

V Indiji Brahmagupta izslědoval, kako razrěšiti kvadratne ravnosti i sistemy ravnostij s několjkimi prěmennymi v 7-om věky n. e. Medžu jego inovacijami bylo izkoristanje nuly i negativnyh čisel v algebraičnyh ravnostijah.

Evropsky period

Italijansky matematik Fibonači prinesl ideje i tehniky al-Horezmi do Evropy v knigah, vklučno jego Liber Abaci. V 1545-om lětu italijansky polimat Džerolamo Kardano opublikoval svoju knigu Ars Magna, ktora pokryvala mnogo tem v algebrě, diskutovala imaginarne čisla i byla prvoju, čto predstavila obče metody za razrěšenje kubičnyh i kvadratičnyh ravnostij.^[8]

V 16-om i 17-om věkah francuzski matematiki Fransua Vjet i Rene Dekart sut uvedli bukvice i simboly za označenje prěměnnyh i operacij, čto sdělalo možlivym izraženje ravnostij kratkym i abstraktnym manerom.

Na koncu 18-ogo stolětja němečsky matematik Karl Fridrih Gaus jest dokazal fundamentalnu teoremu algebry, ktora opisyvaje egzistenciju nulov polinomov ljubogo stupnja bez davanja občego rěšenja. Na počatku 19-ogo věka italijansky matematik Paolo Ruffini i norvežsky matematik Niels Henrik AbelНилс Хенрик Абељ byli v stanju pokazati, že ne jestvuje občo rěšenje za polinomy stupnja pěti i vyše. V otgovorě na jih nahodženja francuzsky matematik Evariste GaloisЕварист Галуа razvil to, čto pozdněje stalo znano kak teorija Galua, ktora jest predložila glubšu analizu rěšenij polinomov i položila osnovu teorije grupy.^[9]

Moderna algebra

Počinajuči srědinoju 19-go věka, interes v algebrě se prěměnil od izučenja polinomov, svezanogo s elementarnoj algebroju, k izslědovanju algebraičnyh struktur, označajuči vozniknenje abstraktnoj algebry. Tuty pristup izsledoval aksiomatičnu osnovu libovoljnyh algebraičnyh operacij.

Vplivne ranne iznahodky v abstraktnoj algebrě sut sdělany němečskymi matematikami Davidom Gilbertom, Ernstom Štajnicom i Emmi Njeter, i takože avstrijskim matematikom Emilom Artinom.

Ideja ješče vyše občego pristupa, nazyvajemogo universalnoj algebroju, byla zamyšlena anglijskim matematikom Alfredom Nortom Vajthedom v jego knigě 1898-go lěta Traktat ob universalnoj algebrě. Počinajuči od 1930-yh lět, amerikanski matematik Garrett Birkhoff razširil tute ideje i jest razvil mnogo fundamentalnyh koncepcij togo polja.

Priměnjenje

Algebra imaje široko priměnjenje v raznyh oblastah:

Matematika

Algebraizacija matematiky jest proces použivanja algebraičnyh metod i principov v inyh oblastah matematiky, takyh kako geometrija, topologija, teorija čisel i matematična analiza. V geometriji algebraične korenja opisujut geometrične figury. Linějarna algebra igra centralnu rolu v umětnom intelekte i strojnom učeniji, na primer, aktivujuči efektivnu obrabotku i analizu velikih množestvov danyh.

Nauky i tehnika

Algebraične metody sut takože redno koristane v inyh oblastah, kako sut nauky o prirodě. Napriměr, oni sut izkoristane za vyraženje naučnyh zakonov i razrěšenje ravnostij v fizikě, hemiji i biologiji. Podobne priměnjenja sut najdene v takyh oblastah kako ekonomika, geografija, inženerija (vključajuči elektroniku i robotiku) i informatika za vyraženije odnošenij, razrěšenje problemov i modelovanje sistem.

Fizične nauky kako kristalografija i kvantova mehanika použivajut v velikoj měrě teoriju grupy. Kako teorija kodovanja, tako i kriptologija opirajut se na abstraktnu algebru za razrěšenje problemov, svezanyh s prěnosom danyh.

Obučenje

Naučenje algebrě se glavno fokusuje na elementarnoj algebrě, ktora jest jednoju iz pričin, začto elementarna algebra takože jest nazvana školnoju algebroju. Ona obyčno ne jest čestju načalnogo obrazovanja i jest vveděna toliko v srědnom, zatože ona trěbuje vladanije fundamentami aritmetiky, tvoreči nove kognitivne izzvy, svezane s abstraktnym mysljenjem i generalizacijeju.

Ključove koncepcije

Prěmenne i ravnosti

Prěmenne (variabilne) sut simboly za nenaznačene ili neznane veličiny. Oni dajut možlivost izraziti odnošenja, za koje ne jest znajemo točnyh značenij. Ravnostju jest matematično tvrdženje, sostoječe iz dvoh čestij, govoreči, že oni sut ravne.

Glavny cělj elementarnoj algebry jest oprěděliti značenja, za koje jest tvrdženje istinno. To možno jest dosegnuti transformacijeju i manipulacijeju čestami tvrdženja po oprědělenym pravilam. Ključny princip, ktory rukovodi tutym procesom, jest že kaka-libo operacija, izdělana na jednoj straně ravnosti, musi takože byti sdělana na drugoj straně, da by tvrdženje jest ostalo istinno.

Polinomy

Polinom jest izraženje, sostoječe iz jedinogo ili vyše členov, ktore sut složene ili odimane jedin od drugogo. Každy člen jest či konstanta, ili prěmenna, ili produkt konstanty i prěměnnyh. Faktorizacija jest metoda, izkoristana za uproščenje polinomov, čto dělaje legšim jihnu analizu i oprěděljenje značenij, pri ktoryh oni sut ravne nulě.

Algebraične struktury

Algebraična struktura jest ne pusto množstvo matematičnyh objektov zajedno s algebraičnymi operacijami, oprědělenymi na tom množestvy. Abstraktna algebra izsleduje zakony, obči osobenosti i značenja algebraičnyh struktur. Važnějše struktury vklučajut:

Grupy — struktury s jednoju associativnoju operacieju, identičnym elementom, i obratnymi elementami
Koljca — struktury s dvoma operacijami, sličnymi složenju i množejenju
Polja — komutativne koljca, v kojih každy nenulovy element imaje multiplikativno obratno
Vektorne prostory — struktury, kombinujuče vektory so skalarnym množenjem
Matricy — pravougolne razporedenja veličin, fundamentalne v linearnoj algebrě

Gledite takože

Iztočniki

↑ Fasmer, M. (1986–1987). Etimologičny slovnik russkogo jezyka = Russisches etymologisches Wörterbuch : v 4 t. Progres.
↑ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
↑ Cohn, P. M. (2003). Basic Algebra: Groups, Rings and Fields. Springer. ISBN 978-1-85233-587-8.
↑ Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Springer. ISBN 978-0-387-90518-1.
↑ Robins, Gay; Shute, Charles (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. British Museum Press. ISBN 978-0-7141-0944-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Heath, T. L. (1910). Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge University Press.
↑ Berggren, J. L. (1986). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. Springer. ISBN 978-0-387-96318-1.
↑ Cardano, Gerolamo (1968). Ars Magna, or The Rules of Algebra. MIT Press.
↑ Stewart, Ian (2015). Galois Theory. CRC Press. ISBN 978-1-4822-4582-0.

[1] Fasmer, M. (1986–1987). Etimologičny slovnik russkogo jezyka = Russisches etymologisches Wörterbuch : v 4 t. Progres.

[2] Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.

[3] Cohn, P. M. (2003). Basic Algebra: Groups, Rings and Fields. Springer. ISBN 978-1-85233-587-8.

[4] Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Springer. ISBN 978-0-387-90518-1.

[5] Robins, Gay; Shute, Charles (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. British Museum Press. ISBN 978-0-7141-0944-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[6] Heath, T. L. (1910). Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge University Press.

[7] Berggren, J. L. (1986). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. Springer. ISBN 978-0-387-96318-1.

[8] Cardano, Gerolamo (1968). Ars Magna, or The Rules of Algebra. MIT Press.

[9] Stewart, Ian (2015). Galois Theory. CRC Press. ISBN 978-1-4822-4582-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]